2022届高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法学案理含解析北师大版

第一节　数列的概念与简单表示法

授课提示：对应学生用书第102页

知识点　数列的有关概念及表示

1．数列的有关概念

2．数列的表示方法

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二级结论

1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝

2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则

必明易错

1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．

1．已知数列{an}为，1，，，…，则可作为数列{an}的通项公式的是(　　)

A．an＝　　　　 B．an＝

C．an＝  D．an＝

解析：由，，，，…，归纳得an＝．

答案：C

2．(2021·郑州模拟)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)

A．3不是数列{an}中的项

B．3只是数列{an}中的第2项

C．3只是数列{an}中的第6项

D．3是数列{an}中的第2项或第6项

解析：令an＝3，

即n2－8n＋15＝3，

解得n＝2或n＝6，

故3是数列{an}中的第2项或第6项．

答案：D

3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．

答案：5n－4

4．(易错题)已知Sn＝2n＋3，则an＝________．

解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝

答案：

授课提示：对应学生用书第103页

题型一　由an与Sn的关系求通项公式　　

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N＋），则an＝________．

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此an＝

答案：

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式为an＝________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝．

答案：

3．已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋（n≥2），求数列{bn}的通项公式．

解析：因为Sn－Sn－1＝＋（n≥2），所以（＋）（－）＝＋（n≥2）．又

＞0，所以－＝1（n≥2），又＝1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列．所以＝1＋（n－1）×1＝n，故Sn＝n2．当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1．当n＝1时，b1＝1符合上式，所以bn＝2n－1（n∈N＋）．

1．已知Sn求an的三个步骤

（1）先利用a1＝S1求出a1；

（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；

（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．

2．Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．

（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；

（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

题型二　由递推关系求数列的通项公式　　

考法（一）　累加法

[例1]　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N＋），求数列{an}的通项公式．

[解析]　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，

an－an－1＝n（n≥2）．

以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．

又因为a1＝1，所以an＝（n≥2）．

因为当n＝1时也满足上式，

所以an＝（n∈N＋）．

根据形如an＋1＝an＋f（n）（f（n）是可以求和的）的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．

考法（二）　累乘法

[例2]　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1（n≥2），求数列{an}的通项公式．

[解析]　因为an＝an－1（n≥2），

所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1．

以上（n－1）个式子相乘得

an＝a1···…·＝＝．

当n＝1时，a1＝1，上式也成立．

所以an＝（n∈N＋）．

根据形如an＋1＝an·f（n）（f（n）是可以求积的）的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．

考法（三）　构造法

[例3]　（1）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（n∈N＋），求an＝________．

（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

[解析]　（1）因为an＋1＝，所以－＝．

因为a1＝2，即＝，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以＝＋（n－1）×＝，故an＝．

（2）因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3（an＋1），所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1（n∈N＋）．

[答案]　（1）　（2）见解析

1．形如an＋1＝（p，q，r是常数）的数列，将其变形为＝·＋．若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项．

2．根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p（an＋x）的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式．

[对点训练]

　根据下列条件，求解数列{an}的通项公式．

（1）a1＝2，an＋1＝an＋ln；

（2）a1＝，an＝an－1（n≥2）；

（3）a1＝，an＋1＝an＋；

（4）a1＝1，an＝．

解析：（1）因为an＋1＝an＋ln，

所以an＋1－an＝ln，

所以an－an－1＝ln（n≥2），

an－1－an－2＝ln，…，a2－a1＝ln．

所以an－a1＝ln＋ln＋…＋ln

＝ln n（n≥2），

即an＝ln n＋2（n≥2）．

又a1＝2，适合此等式．

所以an＝ln n＋2．

（2）因为an＝an－1（n≥2），

所以当n≥2时，＝，

所以＝，…，

＝，＝，

以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，

即＝··2·1，

所以an＝．

当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，

所以数列{an}的通项公式为an＝．

（3）在an＋1＝an＋两边分别乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝（2n·an）＋1．

令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，

根据待定系数法，得bn＋1－3＝（bn－3）．

所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．

所以bn－3＝－·，即bn＝3－2．

于是，an＝＝3－2．

（4）取倒数，得＝＝3＋．所以是等差数列，＝＋3（n－1）＝1＋3（n－1）⇒an＝．

　数列性质应用中的核心素养

逻辑推理——数列性质的创新应用

[例]　若存在常数k（k∈N＋，k≥2），q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1＝则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”，若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，则b2 019＝（　　）

A．3　　　 B．4　　　　

C．5　　　 D．6

[解析]　法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，∴b2 017＝0×b2 016＝0，∴b2 018＝b2 017＋3＝3，∴b2 019＝b2 018＋3＝6．故选D．

法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，∴b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，…，∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2 019＝b6＝6．故选D．

[答案]　D

1．解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

2．求解数列新定义问题关键是抓住信息条件，转化求解．

[对点训练]

若数列{an}满足a2－a1＜a3－a2＜…＜an－an－1＜…，则称数列{an}为“差半递增”数列．若数列{an}为“差半递增”数列，且其通项an与前n项和Sn满足Sn＝2an＋2t－1（n∈N＋），则实数t的取值范围是________．

解析：由题知，Sn＝2an＋2t－1　①，当n＝1时，a1＝2a1＋2t－1，得a1＝1－2t；当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋2t－1　②，①－②并化简，得an＝2an－1，故数列{an}是以a1＝1－2t为首项，2为公比的等比数列，则an＝（1－2t）·2n－1，所以an－an－1＝（1－2t）·2n－1－·（1－2t）·2n－2＝（3－6t）·2n－3，因为数列{an}为“差半递增”数列，所以3－6t＞0，解得t＜．

答案：