2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析北师大版

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

授课提示：对应学生用书第60页

知识点一　角的概念与弧度制

1．角的概念及推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad．

(2)公式

• 温馨提醒 •

1．β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z．

2．β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z．

3．β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z．

4．β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z．

1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．2kπ－45°(k∈Z)

B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

D．kπ＋(k∈Z)

解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．

答案：C

2．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)

A．10π　　　　　　　 B．9π

C．π  D．π

解析：∵200°＝，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l＝×1＝．

答案：D

3．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．

答案：－　二

知识点二　任意角的三角函数

续表

• 温馨提醒 •

二级结论

1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

2．若α∈，则tan α＞α＞sin α．

必明易错

已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，当不是单位圆上的点时，若圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝．

1．(易错题)若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　)

A．－　　 B．－　　　

C．　　 D．

解析：∵角α的终边上一点的坐标为，即，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－．

答案：A

2．(2021·济南模拟)已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α＝(　　)

A．－  B．－ 

C．－  D．－

解析：根据三角函数的定义，tan α＝＝＝－．

答案：D

3．(2021·青岛质检)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．

解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝．

答案：

授课提示：对应学生用书第61页

题型一　象限角与终边相同的角　　

1．（2020·高考全国卷Ⅱ）若α为第四象限角，则（　　）

A．cos 2α＞0　　　　　　　　 B．cos 2α＜0

C．sin 2α＞0  D．sin 2α＜0

解析：∵α是第四象限角，∴sin α＜0，cos α＞0，

∴sin 2α＝2sin αcos α＜0．

答案：D

2．集合中角表示的范围（阴影部分）是（　　）

解析：由集合．

当k为偶数时，集合与表示相同的角；

当k为奇数时，集合与表示相同的角；

所以集合中表示的角的范围为选项C．

答案：C

3．若角α和β的终边关于y轴对称，则必有（　　）

A．α＋β＝　　　　　 B．α＋β＝π，k∈Z

C．α＋β＝2kπ，k∈Z  D．α＋β＝（2k＋1）π，k∈Z

解析：如图所示，设0＜α′＜π，0＜β′＜π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝（2k＋1）π，k∈Z．

答案：D

4．（2021·绵阳质检）点A（sin 2 019°，cos 2 019°）在直角坐标平面上位于（　　）

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：sin 2 019°＝sin 219°＝－sin 39°＜0，cos 2 019°＝cos 219°＝－cos 39°＜0．选C．

答案：C

1．象限角的两种判断方法

（1）图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

2．求或nθ（n∈N＋）所在象限的方法

（1）将θ的范围用不等式（含有k，且k∈Z）表示．

（2）两边同除以n或乘以n．

（3）对k进行讨论，得到或nθ（n∈N＋）所在的象限．

题型二　扇形的弧长及面积公式的应用　　

1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（　　）

A．2　　　　　　 B．sin 2

C．  D．2sin 1

解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交于D．

则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，

且AC＝AB＝1，

在Rt△AOC中，

AO＝＝，即r＝，

从而的长为l＝α·r＝．

答案：C

2．（2021·乐山模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田（如图所示），按照上述公式计算出弧田的面积为_________．

解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4．在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2．由AD＝AOsin＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4．所以弧田面积＝（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2．

答案：4＋2

3．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的　　　　倍．

解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为．将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍．

答案：3

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

（1）明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时要注意角的单位必须是弧度．

（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解．

题型三　三角函数的定义　　

[例]　（1）若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（　　）

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角

（2）已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sin α＝，求cos α，tan α的值．

[解析]　（1）由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．

（2）设P（x，y）．由题设知x＝－，y＝m，

所以r2＝|OP|2＝（－）2＋m2（O为原点），r＝，

所以sin α＝＝＝，

所以r＝＝2，3＋m2＝8，解得m＝±．

当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，

所以cos α＝＝－，tan α＝－；

当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，

所以cos α＝＝－，tan α＝．

[答案]　（1）C　（2）见解析

1．已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

2．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

[题组突破]

1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝（　　）

A．－　　　　　　　 B．－

C．  D．

解析：设P（t，2t）（t≠0）为角θ终边上任意一点，则cos θ＝．当t＞0时，cos θ＝；当t＜0时，cos θ＝－．因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－．

答案：B

2．sin 2·cos 3·tan 4的值（　　）

A．小于0  B．大于0

C．等于0  D．不存在

解析：（1）因为<2<3<π<4<，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0．

所以sin 2·cos 3·tan 4<0，所以选A．

答案：A

　三角函数定义中的核心素养

数学抽象——三角函数定义的创新应用问题

[例]　如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为（　　）

[解析]　因为P0（，－），所以∠P0Ox＝－．

因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，

得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－．

由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，

因此d＝2．令t＝0，则d＝2＝，当t＝时，d＝0．

[答案]　C

解决此类问题的关键是抓住三角函数定义，在确定旋转角后，利用定义写出点的坐标值．

[对点训练]

如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为　　　_________．

解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．

根据题意得劣弧＝2，

故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，

|CQ|＝cos＝sin 2，

|PQ|＝sin＝－cos 2，

所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，

所以P点的坐标为（2－sin 2，1－cos 2），

故＝（2－sin 2，1－cos 2）．

答案：（2－sin 2，1－cos 2）