2022届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合学案理含解析北师大版，共9页。

第一节　集合
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的全国卷的考查情况来看，该节是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，均以集合的基本运算为主，同时考查不等式的求解.
本节主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，考查考生的分类讨论思想和数学运算核心素养.

授课提示：对应学生用书第1页
知识点一　元素与集合、集合间基本关系
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中任意一个元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)

集合相等
集合A，B中的元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B

• 温馨提醒 •
1.集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC.
2．含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

1．若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P　　　　　　　 B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析：因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a∉P.
答案：D
2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
解析：由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
答案：A
3．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由M∪N＝M，得N⊆M.又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N的个数为4.
答案：D
知识点二　集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

• 温馨提醒 •
二级结论
A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
必明易错
1．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝(　　)
A．(2，3]
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1，2)
D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：因为∁UA＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
答案：D
2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________．
答案：{x|x是直角}
3．(易错题)已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝.
答案：0或

授课提示：对应学生用书第2页
题型一　集合的概念与关系　　
1.（2021·长沙模拟）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（　　）
A.MN　　　　　　 B.NM
C.M∈N D.N∈M
解析：对于集合N，当n＝2k时，x＝4k＋1（k∈Z）；当n＝2k－1时，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以MN.
答案：A
2.（2021·西安五校联考）已知集合A＝{x|－x2＋2 018x≥0}，B＝{x∈N|y＝lg（3－x）}，则集合A∩B的子集个数是（　　）
A.4 B.7
C.8 D.16
解析：A＝[0，2 018]，B＝{x∈N|x＜3}，A∩B＝{0，1，2}，故集合A∩B的子集个数是8.
答案：C
3.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为__________.
解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，些时B＝，不合题意.
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2）.
答案：[－2，2）
4.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为__________.
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：（16，＋∞）

1.集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图像帮助分析.
题型二　集合的基本运算　　
　　集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：（1）集合的基本运算；（2）利用集合运算求参数或范围.
考法（一）　集合的基本运算
[例1]　（1）（2020·高考全国卷Ⅱ）已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（　　）
A.{－2，3}　　　　　　　　 B.{－2，2，3}
C.{－2，－1，0，3} D.{－2，－1，0，2，3}
[解析]　∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}.又U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U（A∪B）＝{－2，3}.
[答案]　A
（2）（2021·焦作模拟）若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则（∁RA）∪B＝（　　）
A. B.∅
C.[0，＋∞） D.（0，＋∞）
[解析]　因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝，所以∁RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以（∁RA）∪B＝[0，＋∞）.
[答案]　C

解集合运算问题的三个注意点

考法（二）　利用集合的运算求参数
[例2]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝（　　）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
（2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.4
（3）（2021·南昌模拟）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，－3]∪[2，＋∞） B.[－1，2]
C.[－2，1] D.[2，＋∞）
[解析]　（1）A＝{x|－2≤x≤2}，B＝.
由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，所以a＝－2.
（2）根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
（3）集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B⊆A，所以有所以－2≤a≤1.
[答案]　（1）B　（2）D　（3）C

　根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤

[题组突破]
1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（　　）
A.{x|2＜x≤3}　　　　　　 B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}
解析：A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1≤x＜4}.
答案：C
2.（2021·太原模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（　　）

A.（－2，1） B.[－1，0]∪[1，2）
C.（－2，－1）∪[0，1] D.[0，1]
解析：因为集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝（－2，1]，A∩B＝[－1，0），所以阴影部分表示的集合为∁A∪B（A∩B）＝（－2，－1）∪[0，1].
答案：C
3.（2021·湘东模拟）若集合A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|log2（1－x）≤0}，则A∪B＝（　　）
A.{x|－1≤x＜1} B.{x|－1＜x≤1}
C.{0} D.{x|－1≤x≤1}
解析：法一：因为B＝{x|log2（1－x）≤0}＝{x|0＜1－x≤1}＝{x|0≤x＜1}，所以A∪B＝{x|－1≤x＜1}.
法二：因为1∉A且1∉B，所以1∉（A∪B），故排除选项B，D；又－1∈A，所以－1∈（A∪B），所以排除选项C.
答案：A
4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}.若（∁UA）∩B＝∅，则m的值为__________.
解析：易知A＝{－2，－1}.由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，
∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}.
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件.∴m＝1或2.
答案：1或2
　集合中的核心素养
（一）数学抽象——集合的新定义、新运算问题
[例1]　（1）（2021·南阳模拟）定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为（　　）
A.1　　　　　　　 B.0
C.－1 D.sin α＋cos α
（2）（2021·保定模拟）设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝（　　）
A.{x|0＜x≤1} B.{x|0≤x＜2}
C.{x|1≤x＜2} D.{x|0＜x＜1}
[解析]　（1）因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为（重复的只列举一次）：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.
（2）由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}.
[答案]　（1）B　（2）D

1.以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.
2.解决集合的新定义问题的两个切入点
（1）正确理解新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.
（2）合理利用集合性质.运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.
（二）创新应用——集合的新性质问题
[例2]　设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
（1）若M＝{2，3，6}，则∁UM表示的6位字符串为　　　　；
（2）已知A＝{1，3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是__________.
[解析]　（1）由已知得，∁UM＝{1，4，5}，则∁UM表示的6位字符串为100110.
（2）由题意可知A∪B＝{1，3，6}，而A＝{1，3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4.
[答案]　（1）100110　（2）4

创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.
[题组突破]
1.设A，B是有限集，定义d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数.
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）.（　　）
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立，命题②不成立
D.命题①不成立，命题②成立
解析：命题①显然正确，通过如图Venn图亦可知d（A，C）表示的区域不大于d（A，B）＋d（B，C）的区域，故命题②也正确.

答案：A
2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________.
解析：由题意知A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，所以A*B＝[－3，0）∪（3，＋∞）.
答案：[－3，0）∪（3，＋∞）