2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理含解析北师大版

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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题．
本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养和数形结合思想的运用．

授课提示：对应学生用书第174页
知识点一　直线与圆的位置关系
设圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C（a，b）到直线l的距离为d，由
消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为Δ．
方法
位置关系　　　　　　　
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
• 温馨提醒 •
　与圆的切线有关的结论
（1）与圆x2＋y2＝r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
（2）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2．

1．若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[－3，－1]　　　　　 B．[－1，3]
C．[－3，1] D．（－∞，－3]∪[1，＋∞）
解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1．
答案：C
2．直线x＋y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相交于A，B两点，则弦|AB|＝（　　）
A． B．
C． D．
解析：∵圆心（1，2）到直线x＋y－2＝0的距离d＝，
∴|AB|＝2＝．
答案：D
3．（易错题）已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为_________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k（x－3），所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0．综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0．
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
知识点二　圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
• 温馨提醒 •
1．两相交圆的公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0　③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
2．过已知两圆交点的圆系方程
过已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不含圆C2），其中λ为参数且λ≠－1．

1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有（　　）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：圆x2－4x＋y2＝0，即（x－2）2＋y2＝4，其圆心坐标为（2，0），半径为2；
圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即（x＋2）2＋y2＝1，其圆心坐标为（－2，0），半径为1，
则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，
因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
答案：D
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝_________．
解析：两圆公共弦所在直线方程为（x2＋y2＋2ay－6）－（x2＋y2－4）＝0，得y＝．
所以＋（）2＝22，得a＝1．
答案：1

授课提示：对应学生用书第175页
题型一　直线与圆的位置关系　　


1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　　）
A．相交　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：由
消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．
答案：A
2．直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．（，2） B．（，3）
C． D．
解析：当直线经过点（0，1）时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝（切点在第一象限），所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜．
答案：D
3．若圆x2＋y2＝r2（r>0）上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是（　　）
A．（＋1，＋∞） B．（－1，＋1）
C．（0，－1） D．（0，＋1）
解析： 计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1．

答案：A

　判断直线与圆的位置关系的两大策略
（1）若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
题型二　直线与圆的位置关系的应用　　
考法（一）　切线问题
[例1]　（1）已知点P（＋1，2－），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点P的圆C的切线方程为_________．
[解析]　由题意得，圆心C（1，2），半径r＝2．因为（＋1－1）2＋（2－－2）2＝4，所以点P在圆C上，又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1，所以过点P的圆C的切线方程是y－（2－）＝1×[x－（＋1）]，即x－y＋1－2＝0．
[答案]　x－y＋1－2＝0
（2）由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为_________．
[解析]　设圆心为C（3，0），P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝（）min＝，又|PC|min＝＝2，所以|PN|min＝．
[答案]　

圆的切线方程的求法
（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k．
（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k．
考法（二）　弦长问题
[例2]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[解析]　圆的方程可化为（x－3）2＋y2＝9，故圆心的坐标为C（3，0），半径r＝3．如图，记点M（1，2），则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|＝2，弦的长度l＝2＝2＝2．

[答案]　B
（2）设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为_________．
[解析]　圆C的方程可化为x2＋（y－a）2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C（0，a），半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋（）2＝（）2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π．
[答案]　4π

求直线与圆相交弦长的常用方法
（1）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2．
（2）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x1－x2|．
[题组突破]
1．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为（　　）
A．4 B．2
C．6 D．5
解析：因为＝＝，
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3（a2＋b2）．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O（0，0），半径为r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆O所截得的弦长为2＝2＝6．
答案：C
2．（2021·哈尔滨模拟）已知过点P（2，2）的直线与圆（x－1）2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝_________．
解析：因为点P在圆（x－1）2＋y2＝5上，所以过点P（2，2）与圆（x－1）2＋y2＝5相切的切线方程为（2－1）（x－1）＋2y＝5，即x＋2y－6＝0，由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，a＝－2．
答案：－2
题型三　圆与圆的位置关系　　
[例]　已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[解析]　（1）证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1（1，3），半径r1＝，圆C2的圆心为C2（5，6），半径r2＝4，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和C2相交．
（2）圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0．
圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2．

1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[对点训练]
已知圆C1：（x－a）2＋（y＋2）2＝4与圆C2：（x＋b）2＋（y＋2）2＝1外切，则ab的最大值为（　　）
A．　　　　　　　 B．
C． D．2
解析：由圆C1与圆C2外切，可得＝2＋1＝3，解得（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案：C
　直线与圆位置关系中的核心素养
数学运算——直线与圆位置关系的综合应用
[例]　（2019·高考全国卷Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
（1）若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
[解析]　（1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M（a，a）．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|．
由已知得|AO|＝2．又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝（a＋2）2，
解得a＝0或a＝4．
故⊙M的半径r＝2或r＝6．
（2）存在定点P（1，0），使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M（x，y），由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2．
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝（x＋2）2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x．
因为曲线C：y2＝4x是以点P（1，0）为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1．
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－（x＋1）＝1，
所以存在满足条件的定点P．

求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：（1）直接计算或证明，如本题第（2）问的证明；（2）先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；（3）先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解．
[对点训练]
已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
解析：（1）由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．
因为直线l与圆C交于两点，
所以＜1．
解得＜k＜．
所以k的取值范围为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，
整理得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0．
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝＋8．
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1．
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2．