2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.8函数与方程及应用学案理含解析北师大版

第八节　函数与方程及应用

授课提示：对应学生用书第37页

知识点一　函数的零点

（1）函数的零点的概念

对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.

（2）函数的零点与方程的根的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点Ｗ.

（3）零点存在性定理

如果函数y＝f（x）满足：①在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）＜0；则函数y＝f（x）在（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.

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二级结论

有关函数零点的结论

（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

（3）连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

必明易错

1.函数f（x）的零点是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图像与x轴交点的横坐标.

2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像.

1.函数f（x）＝ln x－的零点所在的大致范围是（　　）

A.（1，2）　　　　　　　 B.（2，3）

C.和（3，4）  D.（4，＋∞）

解析：易知f（x）为增函数，由f（2）＝ln 2－1＜0，f（3）＝ln 3－＞0得f（2）·f（3）＜0.

答案：B

2.函数f（x）＝ex＋3x的零点个数是__________.

解析：由已知得f′（x）＝ex＋3＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（－1）＝－3＜0，f（0）＝1＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点.

答案：1

3.若二次函数f（x）＝x2－2x＋m在区间（0，4）上存在零点，则实数m的取值范围是__________.

解析：二次函数f（x）图像的对称轴方程为x＝1.若在区间（0，4）上存在零点，只需f（1）≤0且f（4）＞0即可，即－1＋m≤0且8＋m＞0，解得－8＜m≤1.

答案：（－8，1]

4.（易错题）给出下列命题：

①函数f（x）＝x2－1的零点是（－1，0）和（1，0）；

②函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图像连续不断），则一定有f（a）·f（b）＜0；

③二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac＜0时没有零点；

④若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点.

其中正确的是　　　　（填序号）.

答案：③④

知识点二　函数模型及应用

指数、对数、幂函数模型性质比较

1.已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（　　）

A.f（x）＞g（x）＞h（x）  B.g（x）＞f（x）＞h（x）

C.g（x）＞h（x）＞f（x）  D.f（x）＞h（x）＞g（x）

解析：由图像（图略）知，当x∈（4，＋∞）时，增长速度由大到小依次为g（x）＞f（x）＞h（x）.

答案：B

2.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为__________.

解析：设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，所以当x＝3时，y最大.

答案：3

授课提示：对应学生用书第38页

题型一　函数零点个数或所在区间的判定　　

1.（2019·高考全国卷Ⅲ）函数f（x）＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为（　　）

A.2　　　　　　　　　 B.3

C.4  D.5

解析：令f（x）＝0，得2sin x－sin 2x＝0，

即2sin x－2sin xcos x＝0，

∴2sin x（1－cos x）＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.

又x∈[0，2π]，

∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.

故函数f（x）的零点为0，π，2π，共3个.

答案：B

2.（2021·揭阳模拟）曲线y＝与y＝x的交点横坐标所在区间为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：设f（x）＝－x，易知f（x）单调递减，

∵f＝－＞0，f＝－＜0，∴ff＜0，

根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为，即所求交点横坐标所在区间为.

答案：B

3.（2021·太原模拟）函数f（x）＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是（　　）

A.  B.（1，2）

C.（2，e）  D.（e，3）

解析：因为f＝－＋－e－2＜0，f（1）＝－2＜0，f（2）＝ln 2－＜0，f（e）＝＋e－－2＞0，所以f（2）f（e）＜0，所以函数f（x）＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是（2，e）.

答案：C

1.判断函数零点个数的三种方法

（1）解方程法：若对应方程f（x）＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点.

（2）函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图像在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数的零点个数.

 （3）数形结合法：合理转化为两个函数的图像（易画出图像）的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数.

2.确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法

（1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是否连续，其次看是否有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点.

（2）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

题型二　函数模型及应用　　

[例]　国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝1瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图所示.

该函数模型如下：

f（x）＝

根据上述条件，回答以下问题：

（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）

（参考数据：ln 9.82≈2.28，ln 10.18≈2.32，ln 54.27≈3.99）

[解析]　（1）由题图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2，

此时f（x）＝44.21sin＋0.21，

当x＝，即x＝时，函数f（x）取得最大值为ymax＝44.21＋0.21＝44.42.

故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.

（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2.

由54.27e－0.3x＋10.18＜20，

得e－0.3x＜，

两边取自然对数得ln e－0.3x＜ln ，

即－0.3x＜ln 9.82－ln 54.27，

所以x＞≈＝5.7，

故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.

1.与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.

2.在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题，必要时可借助导数.

[对点训练]

某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解析：（1）当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115＞0，解得x＞2.3，

因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.

当x＞6时，y＝[50－3（x－6）]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115＞0，

有3x2－68x＋115＜0，

结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.

所以y＝f（x）

＝

（2）对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115

＝－3＋，6＜x≤20，x∈Z，

当x＝11时，ymax＝270.

因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.

　函数与方程及模型应用中的核心素养

（一）直观想象——数形结合思想在已知函数零点或方程根确定参数范围中的应用

[例1]　（2020·高考天津卷）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－|kx2－2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）

A.∪（2，＋∞）

B.∪（0，2）

C.（－∞，0）∪（0，2）

D.（－∞，0）∪（2，＋∞）

[解析]　注意到g（0）＝0，所以要使g（x）恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝恰有3个实根即可，

令h（x）＝，即y＝|kx－2|与h（x）＝的图像有3个不同交点.

因为h（x）＝＝

当k＝0时，此时y＝|kx－2|＝2，如图1，y＝2与h（x）＝有1个交点，不满足题意；

当k＜0时，如图2，此时y＝|kx－2|与h（x）＝的图象恒有3个不同交点，满足题意；

当k＞0时，如图3，当y＝kx－2与y＝x2相切时，联立方程得x2－kx＋2＝0，

令Δ＝0得k2－8＝0，解得k＝2（负值舍去），此时y＝|kx－2|与h（x）＝的图象有3个交点.所以k＞2.

综上，k的取值范围为（－∞，0）∪（2，＋∞）.

            [答案]　D

已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围常用的方法

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数范围.

（2）分离参数法：先将参数分离，化为a＝g（x）的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决.

（3）数形结合法：将函数解析式（方程）适当变形，转化为图像易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图像求解.

（二）数学建模——函数建模在实际问题中的应用

[例2]　某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：①f（x）＝p·qx；②f（x）＝px2＋qx＋1；③f（x）＝x（x－q）2＋p（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）.

（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？

（2）若f（0）＝4，f（2）＝6.

①求出所选函数f（x）的解析式（注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推）；

②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.

[解析]　（1）因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f（x）＝x（x－q）2＋p.

（1）①对于f（x）＝x（x－q）2＋p，

由f（0）＝4，f（2）＝6，

可得p＝4，（2－q）2＝1，

又q＞1，所以q＝3，

所以f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5）.

②因为f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5），

所以f′（x）＝3x2－12x＋9，

令f′（x）＜0，得1＜x＜3.

所以函数f（x）在（1，3）内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.

解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式（注意定义域），并进行相关求解，最后结合实际意义作答.

[对点训练]

某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：

给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b（k≠0）；②y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）；③y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）.

（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；

（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.

解析：（1）将（3，1），（5，2）代入y＝kx＋b（k≠0），

得解得所以y＝x－.

当x＝9时，y＝4，不符合题意；

将（3，1），（5，2）代入y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1），

得解得所以y＝·（）x＝2.

当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意：

将（3，1），（5，2）代入y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1），

得解得所以y＝log2（x－1）.

当x＝9时，y＝log28＝3；

当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系.

（2）令log2（x－1）＞6，则x＞65.

因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型.