2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理含解析北师大版

计数原理与概率、随机变量及其分布

第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

授课提示：对应学生用书第203页

知识点一　分类加法计数原理

完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

• 温馨提醒 •

分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．

1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　)

A．30　　　　　　 B．20

C．10  D．6

解析：从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，

共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．

答案：D

2．(易错题)a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是(　　)

A．20  B．16

C．10  D．6

解析：当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．

答案：B

知识点二　分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

• 温馨提醒 •

分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．

1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　)

A．16  B．13

C．12  D．10

解析：将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4×3＝12(种)．

答案：C

2．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为__________．

解析：3个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插法种数为7×8×9＝504．

答案：504

3． (易错题)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有__________条不同的路线．

解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)．

答案：32

授课提示：对应学生用书第204页

题型一　分类加法计数原理　　

1．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　 B．4

C．6  D．8

解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；

以2为首项的等比数列为2，4，8；

以4为首项的等比数列为4，6，9；

把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，

∴所求的数列共有2×（2＋1＋1）＝8（个）．

答案：D

2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_________．

解析：个位数字为2时，有1种选法；个位数字为3时，有2种选法；个位数字为4时，有3种选法；…；个位数字为9时，有8种选法，根据分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋…＋8＝36．

答案：36

3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275等），那么所有凸数的个数为_________．

解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6（个）．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12（个）……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72（个）．

所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240（个）．

答案：240

　使用分类加法计数原理时两个注意点

（1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．

（2）分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．

题型二　分步乘法计数原理　　

1．（2021·新余模拟）7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（　　）

A．120　　　　　　 B．240

C．360  D．480

解析：第一步，从甲、乙、丙三人中选一个加到前排，有3种方法；第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种方法；第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人，有5种方法，此时形成了6个空，任选一个空加一人，有6种方法；根据分步乘法计数原理可得不同的加入方法种数为3×4×5×6＝360．

答案：C

2．（2021·石家庄模拟）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（　　）

A．10种  B．25种

C．52种  D．24种

解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．

由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．

答案：D

3．（2020·高考全国卷Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　　　　种．

解析：将4名同学分成人数为2，1，1的3组有C＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种．

答案：36

　　利用分步乘法计数原理解题时三个注意点

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．

（3）对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．

题型三　两个计数原理的综合应用　　

[例]　（1）（2021·重庆模拟）某地行政区域如图，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有　　　　　种不同的涂色方法．（用具体数字作答）

（2）如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个．（用数字作答）

[解析]　（1）假设按a→b→c→d→e顺序涂色．对于a有4种涂色的方法，对于b有3种涂色方法，对于c有2种涂色方法，对于e：若c与d颜色相同，则有2种涂色方法，若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法．故共有4×3×2×（2＋1）＝72种不同的涂色方法．

（2）把与正八边形有公共边的三角形分为两类：

第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）．

第二类，有两条公共边的三角形共有8个．

由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40（个）．

[答案]　（1）72　（2）40

应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．

[题组突破]

1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（　　）

A．40　　　　　　　 B．16

C．13  D．10

解析：分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．

答案：C

2．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有　　　　　种．

解析：把区域分为三部分：第一部分1，5，9，有3种涂法，第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂法，共4种涂法，当5，7异色时，7有2种涂法，4，8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6（种）涂法；第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．

答案：108

　计数原理应用中的核心素养

逻辑推理——两个计数原理的创新应用

[例]　若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如：134＋3 802＝3 936），则称（m，n）为“简单的”有序对，则m＋n称为有序对（m，n）的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是_________．

[解析]　第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；

第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；

第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式；

第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．

根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300．

[答案]　300

解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推理．

[对点训练]

定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B中的元素个数为（　　）

A．34　　　　　　　　 B．43

C．12  D．以上都不对

解析：A*B中的元素是由A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步乘法计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．

答案：C