2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.3二项式定理学案理含解析北师大版

第三节　二项式定理

授课提示：对应学生用书第209页

知识点一　二项式定理

1．二项式定理

（1）定理：公式（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）叫做二项式定理．

（2）通项：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第 k＋1项．

2．二项式系数与项的系数

（1）二项式系数：二项展开式中各项的系数C（k∈）叫做二项式系数．

（2）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不同的概念．

• 温馨提醒 •

1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．

2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C（k＝0，1，…，n）．

1．的展开式中x2的系数等于（　　）

A．45　　　　　　　 B．20

C．－30  D．－90

解析：因为展开式的通项为Tr＋1＝（－1）rCxx－（10－r）＝（－1）rCx－10＋r，令－10＋r＝2，得r＝8，所以展开式中x2的系数为（－1）8C＝45．

答案：A

2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　　　．

解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20．

答案：20

知识点二　二项式系数的性质

1．二项式系数的性质

2．各二项式系数的和

（a＋b）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n．

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．

1．（2021·福州模拟）设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（　　）

A．－112  B．112

C．－60  D．60

解析：依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r＝Cx8－4r（－2）r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C（－2）2＝112．

答案：B

2．已知（1－2x）n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（1－2x）n（1＋x）的展开式中含x2项的系数为（　　）

A．71  B．70

C．21  D．49

解析：因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此（1－2x）n（1＋x）的展开式中含x2项的系数为C（－2）2＋C（－2）＝70．

答案：B

3．若（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为_________．

解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加除以2得a0＋a2＋a4＝8．

答案：8

授课提示：对应学生用书第210页

题型一　二项展开式中的特定项或系数　　

1．（2021·重庆巴蜀中学二诊）二项式的展开式中的常数项是（　　）

A．－45　　　　　　　　 B．－10

C．45  D．65

解析：由二项式定理得Tr＋1＝C（－x2）r＝C（－1）rx－5，令－5＝0得r＝2，所以常数项为C（－1）2＝45．

答案：C

2．若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）

A．2  B．

C．1  D．

解析：展开式中含的项是T6＝C（2x）2＝C22a5x－3，故有C22a5＝84，解得a＝1．

答案：C

3．（2020·高考天津卷）在 的展开式中，x2的系数是_________．

解析：因为的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r＝C·2r·x5－3r（r＝0，1，2，3，4，5），令5－3r＝2，解得r＝1．所以x2的系数为C×2＝10．

答案：10

4．（2020·高考全国卷Ⅲ）的展开式中常数项是　　　　（用数字作答）．

解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C（x2）6－r＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240．

答案：240

与二项展开式有关问题的解题策略

（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

（3）对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解．

题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题　　

[例1]　在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为（　　）

A．15　　　　　　　　　 B．45

C．135  D．405

[解析]　由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，得r＝2，则x3的系数为32C＝135．

[答案]　C

[例2]　若（1－x）9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝（　　）

A．1  B．513

C．512  D．511

[解析]　令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－（－1）]9－1＝29－1＝511．

[答案]　D

赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：

（1）形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

（2）形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

[题组突破]

1．的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是（　　）

A．6　　　　　　　 B．

C．4x  D．或4x

解析：令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C（）2＝6．

答案：A

2．若（1＋x）（1－2x）8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为（　　）

A．29  B．29－1

C．39  D．39－1

解析：（1＋x）（1－2x）8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1．

答案：D

　二项式定理应用中的核心素养

数学运算——几个多项式的展开式问题

1．几个多项式的和的展开式问题

[例1]　（2020·高考浙江卷）二项展开式（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝　　　　；a1＋a3＋a5＝_________．

[解析]　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80．

当x＝1时，（1＋2）5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①

当x＝－1时，（1－2）5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1．②

①－②得，2（a1＋a3＋a5）＝243－（－1）＝244，

可得a1＋a3＋a5＝122．

[答案]　80　122

对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项公式，从每一个多项式中分别得到特定的项，再求和即可．

2．几个多项式的积的展开式问题

[例2]　（2021·唐山摸底）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）

A．5  B．10

C．15  D．20

[解析]　（x＋y）5展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－ryr（r∈N且r≤5），

所以的各项与（x＋y）5展开式的通项的乘积可表示为：

xTr＋1＝xCx5－ryr＝Cx6－ryr和Tr＋1＝Cx5－ryr＝Cx4－ryr＋2，

在xTr＋1＝Cx6－ryr中，令r＝3，可得：xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为10，

在Tr＋1＝Cx4－ryr＋2中，令r＝1，可得：T2＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为5，

所以x3y3的系数为10＋5＝15．

[答案]　C

求解形如（a＋b）m（c＋d）n的展开式问题的思路

（1）若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如（a＋b）2·（c＋d）n＝（a2＋2ab＋b2）（c＋d）n，然后分别求解．

（2）观察（a＋b）（c＋d）是否可以合并，如（1＋x）5·（1－x）7＝[（1＋x）（1－x）]5（1－x）2＝（1－x2）5（1－x）2．

（3）分别得到（a＋b）m，（c＋d）n的通项，综合考虑．

3．三项展开式的特定项问题

[例3]　（x2＋x＋y）5的展开式中x5y2的系数为（　　）

A．10　　　 B．20

C．30　　　　 D．60

[解析]　（x2＋x＋y）5的展开式的通项为Tr＋1＝C（x2＋x）5－r·yr，令r＝2，则T3＝C（x2＋x）3y2，又（x2＋x）3的展开式的通项为Tk＋1＝C（x2）3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30．

[答案]　C

三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法

（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用二项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解．

（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．

[题组突破]

1．（2020·高考全国卷Ⅰ）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）

A．5  B．10

C．15  D．20

解析：法一：∵（x＋y）5＝（x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5），∴x3y3的系数为10＋5＝15．

法二：当x＋中取x时，x3y3的系数为C，

当x＋中取时，x3y3的系数为C，

∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15．

答案：C

2．（x－y＋2）6的展开式中y4的系数为（　　）

A．40  B．60

C．－40  D．－60

解析：法一：因为（x－y＋2）6＝[（x＋2）－y]6，所以展开式中含y4的项为C（x＋2）2（－y）4＝15x2y4＋60xy4＋60y4，所以展开式中y4的系数为60．

法二：由于（x－y＋2）6的展开式中y4项不含x，所以（x－y＋2）6的展开式中y4项就是（2－y）6的展开式中y4项，即C22（－y）4＝60y4，所以（x－y＋2）6的展开式中y4的系数为60．

答案：B