2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.4三角函数的图像与性质学案理含解析北师大版

第四节　三角函数的图像与性质

授课提示：对应学生用书第72页

知识点　三角函数的图像与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：

（0，0），，（π，0），，（2π，0）．

在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：

（0，1），，（π，－1），，（2π，1）．

五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）．

2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质

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二级结论

正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

必明易错

1．正切函数的图像是由直线x＝kπ＋（k∈Z）隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是（k∈Z），不能说它在整个定义域内是增函数，如＜，但是tan ＞tan，正切函数不存在减区间．

2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．

3．研究三角函数的单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．

1．（2021·沈阳模拟）若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则（　　）

A．T＝π，A＝1　　　　　　 B．T＝2π，A＝1

C．T＝π，A＝2  D．T＝2π，A＝2

解析：最小正周期T＝＝π，最大值A＝1．

答案：A

2．y＝tan 2x的定义域是_________．

解析：由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域是．

答案：

3．函数f（x）＝3sin在区间上的值域为_________．

解析：当x∈时，2x－∈，

所以sin∈，

故3sin∈，

所以函数f（x）在区间上的值域是．

答案：

4．函数y＝tan图像的对称中心是_________．

解析：由x＋＝π，k∈Z，得x＝π－，k∈Z．

答案：（k∈Z）

5．（2021·青岛模拟）函数f（x）＝sin（－2x）的单调增区间是_________．

解析：由f（x）＝sin（－2x）＝－sin 2x，令2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z）得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．

答案：（k∈Z）

授课提示：对应学生用书第73页

题型一　三角函数的定义域与值域　　

1．函数y＝lg sin x＋ 的定义域为_________．

解析：要使函数有意义，则有

即

解得（k∈Z），

所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z．

所以函数y的定义域为．

答案：

2．函数y＝cos，x∈的值域是_________．

解析：∵0＜x≤，∴＜x＋≤π，

又y＝cos x在[0，π]上是减函数，

∴cos π≤cos＜cos ，即－≤y＜．

答案：

3．函数y＝cos2x－2sin x在上的最大值为_________．

解析：设sin x＝t，则t∈．

∴y＝1－sin2x－2sin x＝－（t＋1）2＋2，t∈，

故当t＝－，即x＝－时，ymax＝－＋2＝．

答案：

1．三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

2．三角函数值域的不同求法

（1）利用sin x和cos x的范围直接求．

（2）把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）的形式求值域．

（3）把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．

（4）利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．

题型二　三角函数的性质　　

考法（一）　三角函数的周期性

[例1]　（1）函数y＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期是（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．π  D．2π

（2）函数f（x）＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期是_________．

[解析]　（1）函数y＝2sin2x＋sin 2x＝2×＋sin 2x＝sin＋1，则函数的最小正周期为＝π．

（2）∵f＝＋

＝|cos x|＋|sin x|＝f（x），

∴f（x）的最小正周期是．

[答案]　（1）C　（2）

三角函数的周期求法

（1）利用周期定义．

（2）利用公式：y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为．

（3）利用图像．

考法（二）　三角函数的奇偶性

[例2]　函数f（x）＝3sin，φ∈（0，π）．

（1）若f（x）为偶函数，则φ＝　　　　；

（2）若f（x）为奇函数，则φ＝_________．

[解析]　（1）∵f（x）＝3sin为偶函数，

∴－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，

又∵φ∈（0，π），∴φ＝．

（2）∵f（x）＝3sin为奇函数，

∴－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，

又∵φ∈（0，π），∴φ＝．

[答案]　（1）　（2）

函数具有奇偶性的充要条件

函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是偶函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）．

考法（三）　三角函数的对称性

[例3]　已知函数f（x）＝asin x＋cos x（a为常数，x∈R）的图像关于直线x＝对称，则函数g（x）＝sin x＋acos x的图像（　　）

A．关于点对称

B．关于点对称

C．关于直线x＝对称

D．关于直线x＝对称

[解析]　因为函数f（x）＝asin x＋cos x（a为常数，x∈R）的图像关于直线x＝对称，

所以f（0）＝f，所以1＝a＋，a＝，

所以g（x）＝sin x＋cos x＝sin，

函数g（x）的对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，对称轴为直线x＝．

所以g（x）＝sin x＋acos x的图像关于直线x＝对称．

[答案]　C

1．对于函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0，0）是否是函数图像的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．

2．函数图像的对称性与周期T之间有如下结论：①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x＝a与x＝b，则最小正周期T＝2|b－a|；②若函数图像相邻的两个对称中心分别为（a，0），（b，0），则最小正周期T＝2|b－a|；③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为（a，0）与x＝b，则最小正周期T＝4|b－a|．

考法（四）　三角函数的单调性

[例4]　（1）（2019·高考全国卷Ⅱ）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（　　）

A．f（x）＝|cos 2x|  B．f（x）＝|sin 2x|

C．f（x）＝cos|x|  D．f（x）＝sin|x|

（2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是_________．

[解析]　（1）作出函数f（x）＝|cos 2x|的图像，如图：

由图像可知f（x）＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f（x）＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f（x）＝cos|x|的周期为2π．f（x）＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D．

（2）法一：由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，所以，k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z．又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋＞0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈．

法二：由已知＝≥，所以0＜ω≤2，又＜x＜π，得＜ωx＋＜π．

当≤ωx＋≤π时，f（x）单调递减，解得≤x≤，于是应有解得≤ω≤．

[答案]　（1）A　（2）

已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法

（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解；

（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；

（3）周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式（组）求解．

[题组突破]

1．（2021·合肥联考）函数f（x）＝sin－cos 2x的图像的一条对称轴的方程可以是（　　）

A．x＝－　　　　　　　　　 B．x＝

C．x＝－  D．x＝

解析：f（x）＝sin－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin．令2x－＝＋kπ（k∈Z），可得x＝π＋π（k∈Z）．令k＝1可得函数图像的一条对称轴的方程是x＝π．

答案：B

2．（2021·常德检测）将函数f（x）＝sin的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则下列说法不正确的是（　　）

A．g（x）的最小正周期为π

B．g＝

C．x＝是g（x）图像的一条对称轴

D．g（x）为奇函数

解析：由题意得g（x）＝sin＝sin 2x，所以最小正周期为π，g＝sin ＝，直线x＝不是g（x）图像的对称轴，g（x）为奇函数．

答案：C

3．（2021·湖南四地联考）已知f（x）＝cos 2x＋acos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）

A．[－2，＋∞）  B．（－2，＋∞）

C．（－∞，－4）  D．（－∞，－4]

解析：f（x）＝cos 2x＋acos＝1－2sin2x－asin x在上是增函数，y＝sin x在上单调递增且sin x∈．

令t＝sin x，t∈，则y＝－2t2－at＋1在上单调递增，则－≥1，因而a∈（－∞，－4]．

答案：D

　三角函数性质中的核心素养

数学运算——三角函数中ω值（范围）的求法问题

1．利用三角函数的对称性求解

[例1]　已知函数f（x）＝cos（ω＞0）的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　）

A．最小值2　　　　　 B．最大值2

C．最小值1  D．最大值1

[解析]　因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋（k∈Z，T为周期），解得（2k＋1）T＝π，又T＝，所以（2k＋1）·＝π，则ω＝2（2k＋1），当k＝0时，ω＝2最小．

 [答案]　A

三角函数的对称轴必经过其图像上的最高点或最低点，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的对称中心就是其图像与x轴的交点，故可利用三角函数的极值点（最值点）、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值或范围．

2．利用三角函数的最值求解

[例2]　已知函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________．

[解析]　显然ω≠0．

若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．

若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值为－2．所以ω≤－，解得ω≤－2．

综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪．

[答案]　（－∞，－2]∪

利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．

[题组突破]

1．若函数y＝cos（ω∈N＋）图像的一个对称中心是，则ω的最小值为_________．

解析：依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ（k∈Z）⇒ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N＋，所以ω的最小值为2．

答案：2

2．已知f（x）＝sin（ω＞0），f＝f，且f（x）在区间内有最小值无最大值，则ω＝_________．

解析：因为f＝f，而＝，所以f（x）的图像关于直线x＝对称，又f（x）在区间内有最小值无最大值，所以f（x）min＝f＝sin＝－1，所以＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝8k＋．再由f（x）在区间内有最小值无最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以0＜ω≤12，所以k＝0，ω＝．

答案：