北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步2 直观图学案设计

§2　直观图

知识点1　平面图形直观图的画法

1.相等的角在直观图中还相等吗？

[提示]　不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．

1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　　)

A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B．平行四边形的直观图仍是平行四边形

C．两条相交直线的直观图可能是平行直线

D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

B　[选项A错误，水平放置的正方形的直观图一定是平行四边形；选项B正确；选项C错误，两条相交直线的直观图仍然是相交直线；选项D错误，两条垂直的直线的直观图不一定垂直．]

知识点2　空间图形直观图的画法(斜二测画法)步骤

(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段．

(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半．

(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．

2.空间几何体的直观图是唯一的吗？

[提示]　不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不相同．

2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.              (　　)

(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．  (　　)

(3)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点． (　　)

[提示]　(1)错误．∠A也可能等于135°.

(2)错误．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变．

(3)正确．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

类型1　水平放置的平面图形的直观图

【例1】　(教材北师版P201例1改编)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

[解]　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

1．画一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图(尺寸自定).

[解]　 (1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°.

(2)描点．如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y轴上截取O′D′＝OD，过点D′作D′C′∥x′轴，且D′C′＝DC.

(3)连线．连接B′C′，A′D′.

(4)成图．如图③，四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图．

类型2　空间几何体的直观图

【例2】　(教材北师版P202例2改编)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．

[解]　(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．

空间几何体的直观图的画法：

(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．

(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．

(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．

2．画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．

[解]　 (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝.连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．

(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.

(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．

类型3　直观图的相关计算

【例3】　如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．

1.和x轴平行的线段AB＝2，和y轴平行的线段CD＝4，那么用斜二测画法画出线段AB，CD的直观图A′B′和C′D′的长度分别是什么？

[提示]　A′B′＝2，C′D′＝2.

2.如图所示，水平放置的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2， 其直观图A′B′C′D′的面积是多少？

[提示]　由斜二测画法可知，矩形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为S＝．

3.→→

[解]　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；

在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm；

在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.

连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．

由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝＝＝3 cm，

∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×2＝2 cm2.

由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的

3．已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A．a2　　　B．a2　　　C．a2　　　D．a2

D　[如图①，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.

如图②，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.]

1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)

A．90°，90°     B．45°，90°

C．135°，90°      D．45°或135°，90°

D　[根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.]

2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　)

A　[由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直，故选A.]

3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的(　　)

C　[正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C.]

4．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.

5　[该矩形直观图的面积为×5×4＝5.]

5.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为______．

9　[由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3.∴S△ABC＝×6×3＝9.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何画水平放置的平面图形的直观图？

[提示]　画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2.用斜二测画法画直观图时应注意哪些问题？

[提示]　用斜二测画法画直观图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.

(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．