北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用第2课时导学案及答案

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第2课时　正弦定理学 习 任 务核 心 素 养1．通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理并了解其向量证法(难点).2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).1．通过正弦定理的证明，培养逻辑推理素养．2．通过正弦定理的应用，培养数学运算素养． 古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？知识点　正弦定理语言表述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．符号表示＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)变形(1)a＝2R_sin_A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝．作用实现三角形边与角的互化．1.在△ABC中，“A＞B”⇔“sin A＞sin B”吗？[提示]　在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔＞⇔sin A＞sin B．2．利用正弦定理可以解决哪两类三角形问题？[提示]　(1)已知两边和一角，求第三边和其他两角；(2)已知两角和一边，求第三个角和其他两边．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．C　[由正弦定理知＝.] 类型1　已知两角及一边解三角形【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b.[解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由＝得，b＝＝＝＝4.所以A＝45°，b＝4.已知任意两角和一边，解三角形的步骤(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．1．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a和B.[解]　 ∵＝，∴a＝＝＝10.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 类型2　已知两边及其中一边的对角解三角形【例2】　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，且sin 15°＝，cos 15°＝，解三角形．[解]　∵＝，∴sin C＝＝＝，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝，由已知cos 15°＝sin 75°＝，∴b＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝，由已知sin 15°＝，∴b＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.1．(变条件、变设问)若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，其他条件不变，则角A有几个值？[解]　∵＝，∴sin A＝＝＝.∵c＝＞2＝a，∴C＞A.∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．2．(变设问)本例条件不变，试求△ABC的外接圆半径．[解]　∵＝2R，∴R＝＝＝.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．[解]　由＝，得sin B＝＝.∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝＝＝2.②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.综上知c＝1或2. 类型3　正、余弦定理的简单综合应用【例3】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．[解]　(1)∵b sin A＝a cos B，由正弦定理得sin B sin A＝sin A cos B.在△ABC中，sin A≠0，即得tan B＝，∴B＝.(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，解得a＝，∴c＝2a＝2.利用正、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.(1)求角B的大小；(2)若C＝60°，b＝2，求c.[解]　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故cos B＝，又因为0°＜B＜180°，所以B＝45°.(2)由正弦定理得c＝b·＝2×＝.1．(多选题)有关正弦定理的叙述正确的是(　　)A．正弦定理只适用于锐角三角形B．正弦定理不适用于钝角三角形C．在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值D．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.CD　[正弦定理适用于任意三角形，故AB均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性质和正弦定理可推知D正确．故选CD.]2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)A．    B．    C．    D．A　[由于＝，故＝，解得sin B＝.故选A.]3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)A．一解    B．两解    C．无解    D．无法确定A　[∵b＜a，A＝30°，∴B＜30°，故三角形有一解．故选A.]4．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________．4　[＝＝＝4.]5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝5 ，B＝，cos A＝，则a＝________．　[因为cos A＝，0＜A＜π，所以sin A＝＝，所以由正弦定理得a＝＝.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.正弦定理有什么特点？[提示]　正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式；(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2.正弦定理有哪些变形？[提示]　正弦定理的常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径)；(2)sin A＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)＝；(5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B．三角形解的个数问题已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不一定能被唯一确定．不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知角A，角A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径作圆；③观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数．显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：当A为钝角(或直角)时，有如图所示的两种情况：根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解．若A为锐角，只有当a≥b sin A时才有解，并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的．若A为钝角或直角，只有当a＞b时才有解．解决此类问题，我们有两种解法：(1)正弦定理法(也称代数法或三角形中大边对大角法)：不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，根据正弦定理得＝，可得sin B＝.若sin B＞1，则三角形无解；若sin B＝1，则三角形有且只有一解；若0＜sin B＜1，则先根据a，b的长短关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，再求出B，从而确定三角形解的个数；(2)公式法：不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，通过前面的探究可得三角形解的个数的判断公式如下表：A＜90°A≥9°a≥ba＜ba＞ba≤bb sin A＜a＜ba＝b sin Aa＜b sin A一解两解一解无解一解无解在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝(其中内角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个．[提示]　法一：(正弦定理法)由正弦定理得＝，可得sin B＝sin 45°＝＜1.又因为a＞b，所以A＞B，故B＝30°，所以符合条件的△ABC只有一个．法二：(公式法)因A为锐角，a＞b，故符合条件的△ABC只有一个．