高中第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.3 三角函数的叠加及其应用学案设计

这是一份高中第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.3 三角函数的叠加及其应用学案设计，共8页。
2．3　三角函数的叠加及其应用学 习 任 务核 心 素 养1．进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换．(重点、难点)2．会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题．(重点、难点)1．在利用三角函数公式进行三角恒等变换的过程中，培养学生数学运算素养．2．通过利用辅助角公式解决三角函数的图象和性质问题，培养学生逻辑推理素养． 波的叠加在日常生活中经常见到，从数学的角度来讲，波的叠加就是三角函数的叠加，那么两个三角函数叠加后是一个什么类型的函数呢？这就是本节课我们要研究的问题．知识点　辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝(sin α＋cos α)，根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝sin_(α＋φ)(a，b不同时为0).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定．1.对于a sin α＋b cos α，为什么提取后就可以转化为sin (α＋φ)?提示：a sin α＋b cos α＝，令＝cos φ，＝sin φ，则a sin α＋b cos α＝(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝sin (α＋φ).2．a sin α＋b cos α可以转化为cos (α＋φ)吗？提示：a sin α＋b cos α＝，令＝－sin φ，＝cos φ，则a sin α＋b cos α＝(cos αcos φ－sin αsin φ)＝cos (α＋φ).1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在辅助角公式中a cos α＋b sin α＝sin (α＋φ)，tan φ＝.  (　　)(2)函数y＝sin x＋a cos x的最大值是1＋a. (　　)(3)函数y＝sin 2x－cos 2x图象的对称中心是，k∈Z.  (　　)[提示]　(1)正确．a cos α＋b sin α＝，令＝sin φ，＝cos φ，则cos α＋sin α＝sin (α＋φ)，所以tan φ＝.(2)错误．y＝sin x＋a cos x＝sin (x＋φ)，所以函数y＝sin x＋a cos x的最大值是.(3)正确．y＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin 2x－cos 2x图象的对称中心是.k∈Z.[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2.求值：cos 10°＋sin 10°＝________．2sin 40°　[cos 10°＋sin 10°＝2(cos 10°＋sin 10°)＝2sin 40°.] 类型1　两角和与差公式的逆用【例1】　(1)sin －cos ＝________．(2)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．(1)－　[原式＝2.法一：(化正弦)原式＝2＝2＝2sin ＝2sin ＝－.法二：(化余弦)原式＝2＝－2＝－2cos ＝－2cos ＝－.](2)[解]　f(x)＝sin x－cos x＝2＝2＝2sin ，∴T＝＝2π，值域为[－2，2].由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间为，k∈Z.逆用两角和与差的公式解题方法逆用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，一般是观察角、函数名、所求(或所化简)问题的整体形式中的差异，利用诱导公式把三角函数式中的角转化为能够应用公式的形式，或利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)进行转化．1．(1)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．(2)计算cos ＋sin 的值是(　　)A．    B．2    C．2    D．(1)　(2)B　[(1)∵tan 60°＝tan (20°＋40°)＝，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.(2)cos ＋sin ＝2＝2＝2sin ＝2sin ＝2.] 类型2　利用辅助角公式解决三角函数的图象问题【例2】　(1)函数f(x)＝sin 2x－cos 2x(　　)A．关于点对称  B．关于点对称C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称(2)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)A．    B．    C．    D．(1)C　(2)B　[(1)由题意得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，因为f＝－1，选项A，D错，f＝2，选项B错误，C正确．(2)由题意得，f(x)＝sin 2x－cos 2x ＝2sin (2x－)，则g(x)＝2sin ，从而2sin (2x＋2t－)＝2sin ＝－2sin (2x－2t)＝2sin (2x－2t＋π)，又t>0，所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)，即t＝＋(k∈Z)时，实数tmin＝.](1)研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要把三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式后解决问题．(2)对于可化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．2．设函数f(x)＝cos x－sin x，则下列结论错误的是(　　)A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在单调递减D　[f(x)＝cos x－sin x＝2cos ，A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确．C项，f(x＋π)＝2cos ，将x＝代入得到f＝2cos ＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确．D项，因为f(x)＝2cos 的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．] 类型3　利用辅助角公式解决三角函数的性质问题【例3】　(教材北师版P148例6改编)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性．1．逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋sin α化简为什么？[提示]　cos α＋sin α＝sin cos α＋cos sin α＝sin .2. 逆用两角和的正弦公式可以把cos α＋sin α化简为什么？[提示]　cos α＋sin α＝2＝2＝2sin .3．逆用两角和的正弦公式可以把a cos α＋b sin α化简为什么？[提示]　a cos α＋b sin α＝(cos α＋sin α)，令＝sin φ，＝cos φ，则cos α＋sin α＝sin (α＋φ)，所以a cos α＋b sin α＝sin (α＋φ).[解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin ，且T＝π，∴ω＝2，于是f(x)＝sin .令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.1. 把例3中的函数换为y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)，其最大值为________．2　[y＝2sin ，∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.]2．已知函数f(x)＝sin 4x＋cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．[解]　(1)f(x)＝sin ，∴f(x)的最小正周期T＝.(2)令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z).∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).将a sin α＋b cos α形式的代数式化为辅助角公式的形式一般地，对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取，化为A sin (ωx＋φ)的形式．公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．3．已知函数f(x)＝－cos 2x＋sin 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的值域．[解]　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝sin ＋.所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)可知f(x)＝sin ＋，因为sin ∈[－1，1]，所以sin ＋∈，即f(x)的值域为.1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 170°等于(　　)A．－    B．    C．－    D．D　[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝，故选D.]2．若将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个周期，所得图象对应的函数为(　　)A．y＝2sin    B．y＝2sin C．y＝2sin   D．y＝2sin D　[函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin 的周期为π，将函数y＝2sin 的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin ＝2sin ，故选D.]3.cos x＋sin x＝(　　)A．sin (＋x)    B．cos (＋x)C．sin (＋x)    D．cos (＋x)A　[cos x＋sin x＝sin cos x＋cos sin x＝sin (＋x).]4．函数y＝sin 2x＋cos 2x的周期为________．π　[y＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以T＝＝π.]5．f(x)＝cos x＋sin x的最大值是________，最小值是________．2　－2　[f(x)＝2sin(x＋)，故f(x)的最大值是2，最小值是－2.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何逆用两角和与差的三角函数公式？[提示]　公式的逆用：对于两角和与差的三角函数公式，要抓住其结构特征，在涉及相关题目时，要通过诱导公式等对其变换，构造逆用公式的形式，对三角函数式化简和求值．2.如何运用“辅助角”公式解决问题？[提示]　辅助角公式及应用：对于三角函数y＝a sin α＋b cos α，可以提取，化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，然后研究其周期，最值和单调性等性质．