高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响第2课时学案设计

第2课时　函数y＝Asin的性质

知识点　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与f的取值有何关系？

[提示]　“f＝0”是“f(x)是奇函数”的充要条件．

“f＝±A”是“f(x)是偶函数”的充要条件．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝sin 2x在[0，π]和[2π，3π]上的图象形状相同，只是位置不同．

  (　　)

(2)－≤sin ≤.  (　　)

(3)函数y＝3sin 的图象关于直线x＝－轴对称． (　　)

(4)函数y＝sin x的零点是x＝kπ，k∈Z.(　　)

[答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)×

类型1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的最值问题

【例1】　(1)函数y＝－2sin (2x－)＋1的最大值为________，取得最大值时x＝________．

(2)求函数y＝sin ，x∈的值域．

(1)3　－＋kπ，k∈Z　[ymax＝－2×(－1)＋1＝3，

令2x－＝－＋2kπ，k∈Z，

解得x＝－＋kπ，k∈Z.]

(2)[解]　∵0≤x≤ ，∴ ≤2x＋ ≤ .

∴－ ≤sin ≤1.

∴－1≤ sin ≤ ，即－1≤y≤ .

∴函数y＝sin ，x∈的值域为[－1，].

求函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤

(1)换元，令u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；

(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图象；

(3)结合图象求出值域．

1．已知f(x)＝sin  (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．

　[如图所示，由题意知：

f(x)在x＝＝处取得最小值．

∴ω＋＝2kπ－ (k∈Z).

∴ω＝8k－ (k∈Z).

∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；

当k≥2时，ω≥16－＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝.]

类型2　求y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期

【例2】　求下列函数的周期：

(1)y＝3sin ＋1；

(2)y＝.

(1)用T＝求周期；(2)利用函数的图象来求周期．

[解]　(1)∵ω＝2，∴T＝＝＝π.

(2)y＝的图象如下：

由图象可知，T＝π.

1.形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b的函数的周期为T＝．

2.形如函数y＝的周期可用图象法求解，其周期为T＝，因此周期减半．

2．函数y＝5sin 的最小正周期为________．

4π　[函数y＝5sin 的最小正周期T＝＝4π.]

类型3　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间

【例3】　求函数y＝2sin 的单调增区间．

[解]　y＝2sin ＝－2sin .所以其单调递增区间，就是y＝2sin 的单调递减区间．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)

因此函数y＝2sin 的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).

求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin x的单调增(减)区间，求得函数的增(减)区间，当ω<0时，可用诱导公式化其为正．

3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是________.

，k∈Z　[由其图象特征知，其周期为6，f为最大值，所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.]

类型4　函数y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性与对称性

【例4】　(1)函数y＝sin 的图象的对称轴方程为________，对称中心为________．

(2)若函数f(x)＝2sin 是偶函数，则φ的值可以是(　　)

A．    B．    C．    D．－

(1)x＝＋(k∈Z)，k∈Z　(2)A　[(1)令sin ＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，

∴x＝＋(k∈Z)，∴函数y＝sin 的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).

令sin ＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，

∴x＝－(k∈Z)，

∴函数y＝sin 的图象的对称中心为，k∈Z.

(2)由f(x)＝2sin 为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋.

∴当k＝0时，φ＝.故选A.]

关于函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性与奇偶性

(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式，可以求出函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称中心、对称轴．

(2)若函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.

4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．

[解]　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，

∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1.

依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝.

由f(x)的图象关于点M对称，可知

sin ＝0，解得ω＝－，k∈Z.

又∵f(x)在上是单调函数，

∴T≥π，即 ≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，

∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.

∴φ＝，ω＝2或ω＝.

1．函数f(x)＝sin 的最小正周期为(　　)

A．4π    B．2π    C．π    D．

C　[由题意T＝＝π，故选C.]

2．函数y＝2sin ＋1的最大值是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

C　[当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.]

3．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)

A．关于点对称     B．关于直线x＝对称

C．关于点对称     D．关于直线x＝对称

A　[由f(x)＝sin (ωx＋)的最小正周期为π，则ω＝2，∴f(x)＝sin (2x＋)，易知(，0)是它的一个对称中心，故选A.]

4．函数y＝sin 与y轴最近的对称轴方程是________.

x＝－　[令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z).由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.]

5．函数y＝sin ，x∈的单调递增区间为________．

　[∵x∈，∴x＋∈，

∵y＝sin x在上单调递增．

∴－ ≤ x＋ ≤ .解得－π≤x≤ .故答案为.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间？

[提示]　在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，再根据函数y＝sin x的单调增(减)区间求解，但需注意A和ω的符号，从而正确确定函数的单调增(减)区间．

2.如何用整体思想研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质？

[提示]　在研究y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z时取得最小值．