高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2 直观图学案设计

第4章 三角恒等变换

微专题2　三角恒等变换的几个技巧

三角函数题是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．

类型1　灵活降幂

【例1】　＝________．

2　[＝＝＝2.]

常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等．

类型2　化平方式

【例2】　化简求值：

(α∈(，2π)).

[解]　因为α∈(，2π)，所以∈(，π)，

所以cos α>0，

sin >0，故原式＝＝＝＝sin.

一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α、2sin2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.

类型3　灵活变角

【例3】　已知sin (－α)＝，则cos (＋2α)＝________．

－　[cos (＋2α)＝2cos2(＋α)－1

＝2sin2(－α)－1＝2×()2－1＝－.]

正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．

类型4　构造齐次弦式比，由切求弦

【例4】　已知tan θ＝－，则的值是________．

3　[＝

＝＝＝＝3.]

解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin  θ和cos θ的二次齐次弦式比．

类型5　分子、分母同乘以2n sin α，求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…

cos 2n－1α的值

【例5】　求cos cos cos cos cos 的值．

[解]　原式＝－cos cos cos cos cos

＝

＝＝＝

＝＝.

这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可．