高中北师大版 (2019)1.2 复数的几何意义学案

1．2　复数的几何意义

知识点1　复平面

通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

1.虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？

提示：不是．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

知识点2　复数的几何意义

2.象限内的点与复数有何对应关系？

提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；

第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；

第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；

第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．

1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　)

A．第一象限　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

B　[∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．]

知识点3　复数的模

向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|. 由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|z|＝＝＝|a|(a的绝对值).

2.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________．

　[|z|＝＝.]

知识点4　共轭复数

(1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi．

(2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝.也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．

3.复数z＝－1＋i的共轭复数对应的点位于第________象限．

三　[z＝－1＋i的共轭复数为＝－1－i，位于第三象限．]

类型1　复数与平面内的点的关系

【例1】　(教材北师版P167练习第2题改编)实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：

(1)第三象限；

(2)直线x－y－3＝0上．

[解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．

(1)当实数x满足即当－3<x<2时，点Z在第三象限．

(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，

当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，

即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．

按照复数和复平面内所有点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．

1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.

[解]　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，

所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.

若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m＝1，所以z＝－2.

类型2　复数的模的几何意义

【例2】　(教材北师版P166例3改编)设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．

(1)|z|＝3; (2)1≤|z|≤2.

[解]　(1)|z|＝3说明向量的长度等于3，即复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为3，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆．

(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．

解决复数的模的几何意义问题

解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：

一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；

二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．

2．若复数z满足|z|≤，则z在复平面所对应的图形的面积为________．

2π　[满足|z|≤的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.]

类型3　复数、共轭复数与复平面内的

向量的关系

【例3】　(1)向量OZ1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是(　　)

A．－10＋8i　 B．10－8i

C．0     D．10＋8i

(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)

A．－5＋5i  B．－5－5i

C．5＋5i     D．5－5i

1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的向量和点Z分别是什么？

[提示]　向量＝（a，b），点Z的坐标为（a，b）.

2.设复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数为在复平面内对应的点分别为A，B，则点A，B有什么关系？

[提示]　点A，B关于x轴对称．

(1)C　(2)D　[(1)由复数的几何意义，可得1＝(5，－4)，2＝(－5，4)，

所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以1＋2对应的复数为0.

(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3，2)，

＝－＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5).所以对应的复数是5－5i.]

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

3．已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i(a∈R)，若OZ1与OZ2共线，求a的值．

[解]　∵OZ1对应的复数为－3＋4i，

OZ2对应的复数为2a＋i，

∴OZ1＝(－3，4)，OZ2＝(2a，1).

又∵OZ1与OZ2共线，

∴(－3)×1－4×2a＝0，解之得a＝－.

1．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　　)

A．0    B．－3    C．－3i    D．3

C　[对应的复数为－3i.]

2．已知复数z1＝m＋2i，z2＝1＋i，若z1＋z2为纯虚数，则实数m的值为(　　)

A．－1    B．1    C．4    D．－4

A　[z1＋z2＝m＋1＋3i为纯虚数，故m＋1＝0，m＝－1，故选A.]

3．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1，2)    B．(－2，1)

C．(1，＋∞)    D．(－∞，－2)

B　[∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，则实数m的取值范围是(－2，1).]

4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)

A．a≠2或a≠1     B．a≠2或a≠－1

C．a＝2或a＝0     D．a＝0

C　[由题知a2－2a＝0解得a＝0或a＝2，故选C.]

5．已知复数z＝1＋2i，则|z|＝________．

　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

复数的模的几何意义是什么？

提示：(1)复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；

②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部．

(2)复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．如图所示：