高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.3 诱导公式与对称学案设计

4．3　诱导公式与对称

4．4　诱导公式与旋转

知识点1　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式

对任意角α，有下列关系式成立：

sin (2kπ＋α)＝sin α，cos (2kπ＋α)＝cos α.

sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α.

sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α.

sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α.

sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α.

这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．

1.sin 585°的值为(　　)

A．－    B．    C．－    D．

A　[sin 585°＝sin (360°＋225°)＝sin (180°＋45°)

＝－sin 45°＝－.]

知识点2　±α的诱导公式

对任意角α，有下列关系式成立：

sin ＝cos α，cos ＝－sin α.

sin ＝cos α，cos ＝sin α.

这两组诱导公式的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．

设α为任意角，则角±α与α的终边有什么关系？

[提示]　＋α的终边与α的终边垂直，－α的终边与α的终边关于y＝x对称．

2.若sin α＝，则cos 的值为(　　)

A．    B．    C．－    D．－

C　[∵sin α＝，∴cos ＝－sin α＝－.]

类型1　条件求值

角度一　给角求值问题

【例1】　(教材北师版P20例6改编)求下列三角函数的值：

(1)sin ；(2)cos 960°.

[解]　(1)sin ＝－sin π＝－sin

＝－sin π＝－sin ＝－sin ＝－.

(2)cos 960°＝cos (240°＋2×360°)＝cos 240°＝cos (180°＋60°)＝－cos 60°＝－.

角度二　给值求值问题

【例2】　已知sin (α－75°)＝－，求sin (105°＋α)的值．

[解]　sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝.

1.已知角求值，一般利用诱导公式，逐步把角化为锐角再求．

2.利用诱导公式求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中的角之间的联系，例如105°＋α与75°－α互补，＋α互余．

1．已知sin ＝，求cos 的值．

[解]　cos ＝cos

＝cos ＝sin ＝.

类型2　利用诱导公式化简和证明

【例3】　化简：cos ＋cos (π－α)(n∈Z).

先对n进行奇偶讨论，再使用诱导公式．

[解]　原式＝cos ＋cos [nπ－(＋α)].

当n为偶数时，

原式＝cos ＋cos ＝2cos ；

当n为奇数时，

原式＝cos ＋cos [π＋π－(＋α)]

＝cos [π＋(＋α)]＋cos [π－]

＝－cos －cos

＝－2cos .

综上可知，原式＝ .

利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α(k∈Z)时，要注意对k的奇偶性进行讨论．

2．化简：.

 [解]　原式＝＝＝sin θ

类型3　诱导公式的综合应用

【例4】　(教材北师版P23例8改编)已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，求的值．

[解]　由sin (α－3π)＝2cos (α－4π)得sin (α－π)

＝2cos α，即sin α＝－2cos α.

∴＝＝＝＝－.

所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．

3．已知sin α＝3cos α，求的值．

[解]　＝＝＝2.

1．cos 765°的值为(　　)

A．－    B．    C．－    D．

B　[cos 765°＝cos (2×360°＋45°)＝cos 45°＝.]

2．若sin (3π＋α)＝－，则cos 等于(　　)

A．－    B．    C．    D．－

A　[∵sin (3π＋α)＝－sin α，

∴sin α＝，

∴cos ＝－cos ＝－sin α＝－.]

3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________．

　[α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.

∴sin β＝sin (π－α＋2kπ)＝sin α＝.]

4．若sin ＝，则cos ＝________．

－　[cos ＝cos

＝－sin ＝－.]

5．已知sin (π＋α)＝－.则cos ＝________．

－　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，

∴sin α＝.

∴cos ＝cos ＝－sin α＝－.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何正确地选择诱导公式解决问题？

[提示]　诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化为[0，2π)内的角，再用π±α，＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．

2.解决给式求值问题的解题思路是什么？

[提示]　解决给式求值问题的常见思路：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．