数学人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用本章综合与测试习题

章末综合检测(六)

 (时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C.因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.

2．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)

A．135°   B．90°

C．45°   D．30°

解析：选C.由正弦定理＝⇒＝，则sin A＝sin B＝.因为a<b，所以A<B，所以A＝45°.

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，则b＝(　　)

A．3   B．2

C．2   D.

解析：选C.由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，所以b＝2.

4．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B.

5．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)

A．(2，16)   B．(－2，－16)

C．(4，16)   D．(2，0)

解析：选A.设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)．所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以解得故选A.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则的值为(　　)

A．1   B.

C.   D.

解析：选D.由余弦定理a2＋c2－b2＝2accos B，得2ac·sin B＝ac，得sin B＝，由正弦定理＝，得＝sin B＝，故选D.

7．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C，且a>c，cos B＝，则＝(　　)

A．2   B.

C．3   D.

解析：选A.因为sin2B＝2sin Asin C，所以由正弦定理，得b2＝2ac.又a>c，cos B＝，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×＝2ac，即2×－5×＋2＝0，解得＝2或(舍去)，故选A.

8．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)

A．正方形   B．矩形

C．菱形   D．直角梯形

解析：选C.由＋＝0，即＝，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(－)·＝0，即·＝0，可得⊥，所以四边形一定是菱形，故选C.

9．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则·＝(　　)

A．1   B．2

C．－2   D．－1

解析：选C.·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝4－6＝－2.

10．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.

11．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积等于(　　)

A．16   B．

C．18   D．32

解析：选A.设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则，解得或

所以cos∠BAD＝＝，所以sin∠BAD＝，S＝4×5×＝16.

12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知△ABC的面积S＝bcsin A＝10，b＝4，则a的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.由3acos C＝4csin A得＝，又由正弦定理＝，得＝⇒tan C＝，由S＝bcsin A＝10，b＝4⇒csin A＝5，由tan C＝⇒sin C＝，又根据正弦定理，得a＝＝＝.故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

解析：因为λa＋b与a＋2b平行，

所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，又向量a，b不平行，

所以所以

答案：

14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．

解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，

cos C＝＝－，

又0<C<π，因此角C＝.

答案：

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.若sin B＝2sin A，则△ABC的面积为________．

解析：因为sin B＝2sin A，所以b＝2a.

又因为c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.

所以a＝，b＝.

所以S△ABC＝absin C＝.

答案：

16．某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________米．

解析：示意图如图，设塔高x米，则BC＝x米，BD＝x米(x>0)．

因为CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，

所以3x2＝x2＋1002－2×100×x×，

所以2x2－100x－10 000＝0.

所以x2－50x－5 000＝0.所以x＝100或x＝－50(舍去)．

答案：100

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，

(1)c∥d；

(2)c⊥d.

解：由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.

(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．

所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k＝.

(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.

所以15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，

所以k＝－.

18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.

(1)若b＝4，求sin A的值；

(2)若△ABC的面积为4，求b，c的值．

解：(1)因为cos B＝，所以sin B＝.

因为a＝2，b＝4，所以sin A＝＝＝.

(2)因为S△ABC＝4＝×2c×，所以c＝5，

所以b＝＝.

19．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．

(1)求实数λ的值；

(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；

(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

解：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.

因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.

因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－.

(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．

(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)．因为＝(－7，－2)，所以解得即点A的坐标为(10，7)．

20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.

(1)求的值；

(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．

解：(1)因为c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，得＝＝＝＝＝，

所以＝.

(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即

4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.

因为a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．

所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.

21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.

(1)求cos B；

(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.

解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，故

sin B＝4(1－cos B)．

上式两边平方，整理得

17cos2B－32cos B＋15＝0，

解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.

(2)由cos B＝得sin B＝，故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.

由余弦定理及a＋c＝6得

b2＝a2＋c2－2accos B

＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)

＝36－2××

＝4.

所以b＝2.

22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.

(1)求线段AD的长；

(2)求△ADE的面积．

解：(1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，

所以cos C＝＝.

由余弦定理得cos C＝＝＝，

所以a＝4，即BC＝4.

在△ACD中，CD＝2，AC＝2，

所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，

所以AD＝.

(2)因为AE是∠BAC的平分线，

所以＝＝＝2，

又＝，所以＝2，

所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.

又因为cos C＝，所以sin C＝＝.

所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝×DC×AC×sin C－EC×AC×sin C＝×DE×AC×sin C＝.