高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用学案

6.1.2　向量的加法

知识点　向量求和法则及运算律

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量相加就是两个向量的模相加． (　　)

(2)两个向量相加，结果有可能是个数量． (　　)

(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加． (　　)

[提示]　(1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的不共线的向量相加．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)

A．　　　　　　　 B．

C． D．

D　[∵A＝a，B＝b，∴a＋b＝A＋B＝A.]

3．(＋)＋(＋)＋等于________．

　[(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝.]

4．＋＋＝________.

0　[＋＋＝＋＝0.]

类型1　向量加法运算法则的应用

【例1】　(1)化简＋＋等于(　　)

A． B．　　　

C．　　　 D．

(2)如图所示，a＋d＝________，c＋b＝________.

(3)若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．

[思路探究]　利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．

(1)B　(2)　　[(1)由向量加法的三角形法则可得：

＋＋＝＋＝.故选B．

(2)由向量求和的三角形法则可知a＋d＝，c＋b＝.]

(3)解：根据平行四边形法则可知，a＋b＝＋＝.

根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作＝，则a＋b＋c＝＋＝＋＝(如图所示)．

所以|a＋b＋c|＝||＝2＝2.

应用三角形法则和平行四边形法则应注意哪些问题？

[提示]　(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．

(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．

(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．

1．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：

(1)＋；

(2)＋.

[解]　(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形，

∴由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.

(2)由题图可知，＝＝＝，

∴＋＝＋＝.

类型2　向量加法运算律的应用

【例2】　(对接教材P141例2)(1)下列等式不正确的是(　　)

①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.

A．②③ B．② 

C．① D．③

(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：

①＋＋；

②＋＋＋.

[思路探究]　可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和．

(1)B　[由向量的加法满足结合律知①正确；因为＋＝0，故②不正确；＋＋＝＋＋＝成立，故③正确．]

(2)[解]　①＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

②＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝000.

向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．

实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．

(2)应用原则

利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．

2．化简：(1)(＋)＋(＋)；

(2)＋(＋)＋.

[解]　(1)(＋)＋(＋)

＝(＋)＋(＋)＝＋＝.

(2)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0.

类型3　向量加法的实际应用

【例3】　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．

[思路探究]　将两根绳子所受的力用向量来表示，根据向量加法的平行四边形法则画和向量即合力的图示，再借助图示求解．

[解]　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝，易得∠ECG＝180°－150°＝30°，

∠FCG＝180°－120°＝60°，所以||＝||·cos 30°＝10×＝5，||＝||cos 60°＝10×＝5，所以A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.

应用向量加法解决物理学问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示相关的量，将所要解决的问题转化为向量的加法问题．

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．

(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原题．

提醒：在根据实际问题转化为向量问题时，由于对实际问题的审题不准确导致解题错误．

3．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.

(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；

(2)求船实际航行的速度的大小与方向．(用与江水的速度方向间的夹角表示)

[解]　(1)如图所示，表示船速，表示水速．

易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船实际航行的速度．

(2)在Rt△ABC中，||＝5，||＝5，所以||＝＝＝＝10.

因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.

因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.

类型4　向量加法的多边形法则

1．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？

[提示]　一定成立，因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则＋＝，所以＋＋＝0，那么a＋b＋c＝0.

2．如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？

[提示]　若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形．

3．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＝＋＋＋…＋An－1An.当A1与An重合时，＋＋＋…＋An－1An满足什么关系？

[提示]　当A1与An重合时，有＋＋＋…＋An－1An＝0.

【例4】　如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A．0　　　　　　　 B．

C． D．

[思路探究]　用向量加法的运算律，将＋＋变形为＋＋就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．

D　[因为多边形ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝.]

三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.

4．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：

(1)＋＋；

(2)＋＋＋.

[解]　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.

(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.

1．在四边形ABCD中，＝＋，则(　　)

A．四边形ABCD一定是矩形

B．四边形ABCD一定是菱形

C．四边形ABCD一定是正方形

D．四边形ABCD一定是平行四边形

D　[由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形．]

2．如图所示，＋＋＋＋＋等于(　　)

A．0 B．0　　　

C．2　　　 D．－2

B　[由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B．]

3．化简＋＋＋的结果等于(　　)

A． B． 

C． D．

B　[＋＋＋＝＋0.]

4．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝________.

　[在矩形ABCD中，＋＝，所以|＋|＝＝＝.]

5．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是_______(填序号)．

①＋；

②＋＋；

③＋＋；

④＋＋.

③　[①②④的运算结果均为，对于③，＋＋＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．利用向量的两种加法法则作图的方法是怎样的？

[提示]　

2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？

[提示]　区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．

联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．

3．分别指出不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左边取“＝”、右边取“＝”、左右两边同时取“＝”的条件．

[提示]　当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立；

当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立；

当a，b至少有一个为零向量时，不等式左右两边的等号同时成立．