2020-2021学年4.1.1 实数指数幂及其运算学案

4.1　指数与指数函数

4.1.1　实数指数幂及其运算

知识点1　根式

1．有关幂的概念

一般地，an中的a称为底数，n称为指数．

2．根式的相关概念和性质

(1)根式的概念

一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．

(2)根式的性质

①()n＝a.

②＝

1．类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？

[提示]　a为正数：

a为负数：

零的n次方根为零，记为＝0.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)当n∈N*时，()n都有意义． (　　)

(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数． (　　)

(3)＝π－3.  (　　)

(4)0的任何指数幂都等于0.  (　　)

[提示]　(1)当n是偶数时，()n没有意义．

(2)负数没有偶次方根．

(3)∵＝|3－π|＝π－3.

∴(3)正确．

(4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．]

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.下列等式成立的是(　　)

A．＝· B．＝a－b

C．a＝ D．＝－

D　[A中，当a＜0，b＜0时等式不成立；B中，当a－b＜0时等式不成立；C中，当a＜0时，等式不成立．]

知识点2　指数幂及其运算性质

1．分数指数幂

(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a＝；当没有意义时，称a没有意义．

(2)意义

(3)运算法则

①前提：s，t为任意有理数．

②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.

2.如何理解分数指数幂？

[提示]　(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；

(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会没有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；

(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．

2．实数指数幂

无理指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立．

3.将5写为根式，正确的是(　　)

A． B．

C．   D．

D　[将5写为根式，结果应是2次根下5的立方，所以5＝.]

4.若a＞0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示分别为(　　)

A．，a3b B．，ab

C．，a3b D．，ab

C　[当a＞0时，a用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3b.]

类型1　根式与分数指数幂的互化

【例1】　(1)若(x－2)有意义，则实数x的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)　　　 B．(－∞，2]

C．(2，＋∞) D．(－∞，2)

(2)根式(式中a＞0)的分数指数幂的形式为(　　)

A．a B．a

C．a D．a

[思路探究]　(1)根式化简求值⇒偶次方根被开方数非负，奇次方根被开方数为实数．

(2)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解．

(1)C　(2)A　[(1)由负分数指数幂的意义可知，(x－2)＝，所以x－2>0，即x>2，因此x的取值范围是(2，＋∞)．

(2)＝＝＝a.

根式与分数指数幂互化的规律及技巧

(1)规律：根指数分数指数幂的分母．

被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．

(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．

1．(1)化为分数指数幂为________．

(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：

①(x＞0)；

②(a＞0，b＞0)．

(1)a　[＝(a·a)＝(a)＝a.]

类型2　利用分数指数幂的运算性质化简与求值

【例2】　(对接教材P7例3)计算下列各式：

(1)(4a2b)(－2ab)÷(－b)；

(2)－－(－1)0＋(－1)2 022＋2－1．

[思路探究]　化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值．

1．化简结果的一个要求和两个不能

2．幂的运算的常规方法

(1)化负指数幂为正指数幂．

(2)化根式为分数指数幂．

(3)化小数为分数进行运算．

2．(1)化简：ab(－3ab－1)÷(4ab－3)＝________.

(2)求值：1.5×＋80.25×＋(×)6－.

(1)－b　[ab (－3ab－1)÷(4ab－3)

＝×(－3)÷4×ab＝－b.]

(2)[解]　1.5×＋80.25×＋(×)6－＝×1＋(23)×2＋22×33－＝＋2＋4×27－＝110.

类型3　指数式的条件求值问题

1．把，分别展开是什么？

[提示]　＝a＋＋2，＝a2＋＋2.

2.和有什么关系？

[提示]　＝＋4.

【例3】　已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：

(1)a2＋a－2；(2)a－a.

[解]　(1)因为a＋a－1＝5，

所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝52－2＝23.

(2)因为＝a＋a－1－2＝5－2＝3，

所以a－a＝±.

条件求值问题的常用方法

(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．

(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．

1．的值是(　　)

A．3　　　　　　　　 B．－3

C．±3 D．81

A　[＝|－3|＝3.]

2．＋2－2×－(0.01)＝(　　)

A． B．3

C．－8 D．0

A　[原式＝1＋×－＝，故选A．]

3．有下列各式：①若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；②＝x＋y；③＝.其中正确的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

B　[①a2－a＋1＝＋＞0，所以(a2－a＋1)0＝1成立．②无法化简．③＜0，＞0，故不相等．]

4．若8＜x≤10，则－＝________.

2x－18　[因为8＜x≤10，则－＝x－8－(10－x)＝2x－18.]

5．化简÷(a＞0，b＞0)的结果是________．

－9a　[÷＝

－9a·b＝－9a.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．有理指数幂与实数指数幂的运算法则是否相同？它们有怎样的运算法则．

[提示]　相同．s，t为有理数(或实数)时，

asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.

2．学习本节课要重点掌握的规律方法是什么？

[提示]　(1)掌握根式化简求值的解题思路．

(2)根式与分数指数幂的互化方法．

(3)有条件的根式的化简与求值问题及方法．

3．本节课的易错点在哪里？

[提示]　本节课的易错点是对根式概念理解不透致错以及指数幂运算性质掌握不熟练出现的计算错误．