人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较学案

4.5　增长速度的比较

知识点　函数值增长速度的比较

1．用平均变化率比较函数值变化的快慢

(1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝.

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．

(4)应用：比较函数值变化的快慢．

2．两种重要的函数增长

(1)指数增长；

①性质：当a＞1时，指数函数f(x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)＝ax的函数值增长的越来越快．

②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长)．

(2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长)．

1．下列说法正确的有________(填序号)．

①若f(x)＝2x＋1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位；

②增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型；

③指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大．

②　[①自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位．

②线性增长的增长速度是不变的．

③当a＞1时，指数增长速度比线性增长速度大．]

2.下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是________(填序号)．

①y＝ex；②y＝ln x；③y＝7x；④y＝e－x.

[答案]　①

类型1　比较函数值增加的快慢

【例1】　(对接教材P39例1)已知函数y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律．

[解]　因为＝＝，所以y＝4x在区间[1,2]上的平均变化率为＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为＝192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快．

1．计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢．

2．平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．

1．已知函数y＝x2－2x－3.

(1)分别计算函数在区间[1,2] 与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；

(2)记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，判定直线AB与直线BC斜率的相对大小．

[解]　(1)＝＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均变化率为1，在区间[3,4]上的平均变化率为5，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快．

(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率．

类型2　比较不同函数平均变化率的大小

【例2】　已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．

[解]　因为＝＝2×3a，

＝＝2，

＝＝log3，

又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6，

log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6，

因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．

不同函数平均变化率大小的比较方法

计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．

2．已知函数f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．

[解]　＝＝48，＝＝100，

所以在区间[2,3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小．

类型3　三类函数图像的比较

【例3】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．

设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小．

[思路探究]　首先判断x1，x2的范围，再判断6和2 021在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2 021)与g(2 021)的大小．最后四个值进行排序．

[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，

C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，

f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，

∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，

∴x1＜6＜x2,2 021＞x2.

从图像上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，

∴f(6)＜g(6)．

当x＞x2时，f(x)＞g(x)，

∴f(2 021)＞g(2 021)．

又∵g(2 021)＞g(6)，

∴f(2 021)＞g(2 021)＞g(6)＞f(6)．

由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法

根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数．

3．(1)若－1＜x＜0，则不等式中成立的是(　　)

A．5－x＜5x＜0.5x B．5x＜0.5x＜5－x

C．5x＜5－x＜0.5x D．0.5x＜5－x＜5x

(2)函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．

①试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

②比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

(1)B　[画出y1＝5－x，y2＝5x，y3＝0.5x的图像如图，

所以5x＜0.5x＜5－x.]

(2)[解]　①C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.

②当x＜x1时，g(x)＞f(x)；

当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；

当x＞x2时，g(x)＞f(x)；

当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).

1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于(　　)

A．f(x0＋Δx)　　 B．f(x0)＋Δx

C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)

D　[∵自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D．]

2．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是(　　)

A． B．

C． D．

B　[∵f(e)－f(1)＝e3－1－1＝e3－2，∴函数f(x)在区间[1，e]上的平均变化率是，故选B．]

3．下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 020x B．y＝x2 020

C．y＝log2 020x D．y＝2 020x

A　[比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A．]

4．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为(　　)

A．y＝2 B．y＝4－

C．y＝log3(x＋1) D．y＝x(x≥0)

B　[由于过(1,2)点，排除C，D；由图像与直线y＝4无限接近，y＜4，排除A，所以选B．]

5．已知函数f(x)＝x＋，则f(x)在[1,2]上的平均变化率为________，f(x)在[3,5]上的平均变化率为________．

　　[自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.

自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．平均变化率的几何意义是什么？

[提示]　设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．

注意：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．

2．三类常见不同函数增长的差异有哪些？

[提示]