高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.4 统计与概率的应用第2课时学案

第2课时　分层抽样

知识点　分层抽样

一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)．

适合分层抽样的总体具备什么特征？

[提示]　总体由差异明显的几部分组成．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)分层抽样实际上是按比例抽样．  (　　)

(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样． (　　)

(3)调查问卷可以设计你想知道的任何问题． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2.下列实验中最适合用分层抽样的是(　　)

A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样

B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样

C．从一箱30个零件中抽取5个入样

D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样

D　[D选项中甲、乙生产的零件有差异，最适合分层抽样．]

类型1　分层抽样的概念

【例1】　(1)下列各项中属于分层抽样的特点的是(　　)

A．从总体中逐个抽取

B．将总体分成几层，分层进行抽取

C．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取

D．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取

(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况

C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

[思路探究]　依据分层抽样方法的特点依次进行判断．

(1)B　(2)B　[(1)A属于简单随机抽样的特点，B属于分层抽样的特点，C，D不属于分层抽样方法，所以应选B．

(2)由分层抽样方法的特点知，选项B适合用分层抽样．]

1．使用分层抽样的前提

分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．

2．使用分层抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

1．某班有30名男生，20名女生，现调查平均身高，准备从总人数中抽取做为调查对象，已知男女身高有明显不同，应如何抽取样本？

[解]　由分层抽样的概念可知本题应选用分层抽样，因为30×＝3(名)，20×＝2(名)，

所以应采用抽签法分别抽出3名男生和2名女生．

类型2　抽样方法的选择

【例2】　①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这两件事，合适的抽样方法分别为(　　)

A．分层抽样，简单随机抽样

B．简单随机抽样，分层抽样

C．简单随机抽样，简单随机抽样

D．分层抽样，分层抽样

[思路探究]　根据各抽样方法的特征、适用范围判断．

A　[①由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选A．]

抽样方法的选取

(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样．

(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样；当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大．样本容量较小时宜用随机数表法．

2．某学院A、B、C三个专业共有1 200名学生，其中A专业有380名学生，B专业有420名学生，C专业有400名学生，为调查这些学生勤工俭学的情况，要从中抽取一个容量为120的样本，记为①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；则完成上述2项应分别采用的抽样方法是(　　)

A．①用简单随机抽样，②用分层抽样

B．①用分层抽样，②用简单随机抽样

C．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样

D．①用分层抽样，②用分层抽样

B　[对于①，总体由差异明显的三部分组成，应采用分层抽样．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应用简单随机抽样．故选B．]

类型3　分层抽样的方案设计

1．分层抽样的特点有哪些？

[提示]　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；

(2)分成的各层互不交叉；

(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量．

2．计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？

[提示]　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．

3．分层抽样公平吗？

[提示]　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．

如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.

【例3】　(对接教材P59例题)一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

[思路探究]　→

→

[解]　因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样．

步骤如下：

(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽125×＝25(人)；

在35岁至49岁的职工中抽280×＝56(人)；

在50岁及50岁以上的职工中抽95×＝19(人)．

(3)在各层分别运用简单随机抽样法抽取样本．

(4)综合每层抽样，组成样本．

分层抽样分为哪几个步骤？

[提示]　

1．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)

A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人

C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人

B　[先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B．]

2．简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是(　　)

A．都是从总体中逐个抽取

B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取

C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同

D．将总体分成几层，分层进行抽取

C　[两种抽样的共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相同．]

3．分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)

A．每层等可能抽样

B．每层可以不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽取的个体数量相同

C　[保证每个个体等可能的被抽取是基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]

4．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生为________人．

160　[男生人数为560×＝160(人)．]

5．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人

数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为________．

360　[因为高一年级抽取学生的比例为＝，所以＝，解得k＝2，故高三年级抽取的人数为1 200×＝360.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．分层抽样的总体有什么特性？

[提示]　分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样．

2．分层抽样的依据是什么？

[提示]　(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

(2)样本能更充分地反映总体的情况；

(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．

3．本节课的易错点是有哪些？

[提示]　(1)概念理解错误致错．

(2)忽视每个个体被抽到的机会相等而致误．