人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用学案及答案，共8页。
6.1　平面向量及其线性运算6.1.1　向量的概念学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1．理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义．2．掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置．(重点)3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系．(重点、难点)1．通过向量相关概念的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助向量的表示及应用，培养直观想象的核心素养.我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)，如图，放在水平桌面上的物体A．问题：(1)物体A受到哪些力的作用？(2)物体A受到的力应怎样表示？[提示]　(1)重力和桌面对物体A的支持力．(2)可用有向线段表示．知识点1　向量及其表示1．定义既有大小又有方向的量称为向量．2．有向线段具有方向和长度的线段称为有向线段．其方向是由始点(或起点)指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也称为有向线段的长度，记作||.3．向量的长度||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．4．向量的表示法(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示．1．下列说法中正确的个数是(　　)①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0　　 　　　　 B．1C．2 D．3B　[只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确．]知识点2　向量的有关概念名称定义表示方法零向量始点和终点相同的向量0单位向量模等于1的向量如果e是单位向量，则|e|＝1相等向量大小相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行，两个向量平行也称为两个向量共线a与b平行或共线，记作a∥b2.如图，在⊙O中，向量，，是(　　)A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量C　[由题知，，对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．]3.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．①与向量相等的向量为________；②若||＝3，则向量的模等于________．①，　②6　[①在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝.②由①知＝，∴E，D，C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6.] 类型1　向量的有关概念【例1】　判断下列命题是否正确，请说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[思路探究]　解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解]　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的，因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要特别注意．(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．1．给出下列命题：①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．②　[①错误．如|0|0.②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．] 类型2　向量的表示及应用【例2】　(对接教材P134例1)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量，，；(2)求的模．[思路探究]　(1)可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．(2)可把放在直角三角形中求得||.[解]　(1)作出向量，，，如图所示．(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．向量有哪两种表示方法？[提示]　(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．2．某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量，，；(2)求||.[解]　(1)向量，，，如图所示．(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．又||＝||，∴在四边形ABCD中，ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形．∴＝，||＝||＝200 km. 类型3　相等向量与共线向量1．向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？[提示]　向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线．2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示]　不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．【例3】　(对接教材P135例3)如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？[解]　(1)与相等的向量为：，，.(2)与共线的向量为：，，，，，，，，.(3)向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等．相等向量与共线向量需注意的四个问题(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．(4)三点A，B，C共线⇔，共线．3．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．(1)图中所标出的向量与共线的有________；(2)图中所标出的向量与相等的有________；(3)图中所标出的向量与模相等的有________；(4)图中所标出的向量与相等的有________．[答案]　(1)，　(2)　(3)，，，　(4)1．下列说法中正确的个数为(　　)(1)有向线段就是向量；(2)两个向量的模能比较大小；(3)有向线段可以用来表示向量；(4)若a＝b，b＝c，则a＝c；(5)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反；(6)若非零向量∥，那么AB∥CD；(7)单位向量的模都相等．A．2　       B．3　　　　C．4　　　　D．0C　[(5)0与任何向量共线，但0方向任意，故(5)错误．(6)∥，A，B，C，D可能共线，故(6)错误．]2．下列说法正确的是(　　)A．若|a|＝0，则a＝0B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量D．若a∥b，则a＝bA　[|a|＝0，则a是零向量，故A项正确．]3．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)A．一条线段B．一条直线C．圆上一群孤立的点D．一个半径为1的圆B　[因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．(填序号)④⑥　[由向量的相关概念可知④⑥正确．]5．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是________．8　[图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．判断一个量是否为向量应从哪两个方面入手？[提示]　(1)是否有大小．(2)是否有方向．2．你是如何理解零向量和单位向量的？[提示]　(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．3．如何寻找共线向量或相等向量的方法？[提示]　(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．