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数学人教B版 (2019)4.2.3 对数函数的性质与图像导学案
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这是一份数学人教B版 (2019)4.2.3 对数函数的性质与图像导学案，共10页。
4.2.3 对数函数的性质与图像
学 习 任 务
核 心 素 养(教师独具)
1．理解对数函数的概念、图像及性质．(重点)
2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)
3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)
1．通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养．
2．借助对数函数的图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
(2)函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
[提示] (1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数．
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．
知识点1 对数函数的定义
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝logx是对数函数． ( )
(2)函数y＝2log3x是对数函数． ( )
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)． ( )
[提示] (1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；
(2)×.在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图像
定义
y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)
图像
a＞1
0＜a＜1
性
质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
增函数
减函数
过定点
图像过点(1,0)，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
[提示] 观察图像，总结变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，0
2.下列函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
C [选项A中，y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}；
选项B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≥0}；
选项C中，函数的定义域均为{x|x>0}；
选项D中，y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}．]
3.函数y＝x＋a与函数y＝logax的图像可能是( )
A B C D
C [因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0且a≠1．同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A、D．当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B．]
类型1 对数函数概念的应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝log x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx，其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝______.
(1)D (2)4 [(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．
(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有解得a＝4.]
如何判断一个函数是对数函数？
[提示]
1．(1)函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝________.
(1)1 (2)－3 [(1)由a2－a＋1＝1解得a＝1或a＝0，
又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]
类型2 对数函数的定义域、值域问题
【例2】 (1)(对接教材P27例3)求下列函数的定义域：
①y＝；
②f(x)＝；
③y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
(2)求下列函数的值域：
①y＝log2(x2＋4)；②y＝log(3＋2x－x2)．
[思路探究] (1)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组．
(2)利用函数的单调性及真数取值范围求解．
[解] (1)①由题意得
即也即x≤1．
故函数y＝的定义域为(－∞，1]．
②由得x<4且x≠3.
故函数f(x)＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
③由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为∪(1,2)．
(2)①因为t＝x2＋4≥4，且y＝log2t为增函数，
所以y＝log2(x2＋4)≥log24＝2.
即函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
②因为t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
且y＝logt为减函数，
所以log(3＋2x－x2)≥log4＝－2.
即函数y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
(变条件)把本例(1)①函数变成“y＝”，结果如何？
[解] 由题意可知
所以
所以即1≤x<2.
故函数y＝的定义域为[1,2)．
1．求与对数函数有关的定义域时应注意的两点
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．
(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示．
2．求函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．
类型3 对数函数的图像及性质
1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？
[提示] 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(1)＝2，所以函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,2)．
2．从左向右，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？
[提示] 当00且a≠1)的图像从左向右呈下降趋势，此时其图像下凸；当a>1时，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像从左向右呈上升趋势，此时其图像上凸．
3．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示] 作直线y＝1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小，必有a4>a3>1>a2>a1>0.
【例3】 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．0
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[思路探究] (1)已知对数函数的图像⇒图像平移规律求解．
(2)作对数函数图像⇒图像变换⇒构建关于a，b的方程⇒研究函数单调性求解．
(1)D (2)C [(1)∵函数单调递减，∴01，∴c>0，
当x＝0时，loga(x＋c)＝logac>0，即c<1．
∴0
所以a＝b(舍去)或b＝，所以a＋2b＝a＋，又0
1．画对数函数图像时要注意的问题
(1)明确图像位置：对数函数图像都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)强化讨论意识：画对数函数图像之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0
2．常见的函数图像的变换技巧
(1)y＝f(x)y＝f(|x|)．
(2)y＝f(x)y＝|f(x)|.
(3)y＝f(x)y＝f(－x)．
(4)y＝f(x)y＝－f(x)．
2．求函数f(x)＝ln(x2＋2x－3)的增区间．
[解] 由x2＋2x－3＞0得，x＜－3或x＞1，所以定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令f(x)＝ln u，u＝x2＋2x－3.因为y＝ln u为增函数，u＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)＝ln(x2＋2x－3)的增区间为(1，＋∞).
1．函数f(x)＝－lg(1－x)的定义域为( )
A．[－2,1] B．[－2,1)
C．(－2,1) D．[－2，＋∞)
B [⇒－2≤x＜1．]
2．已知对数函数的图像过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝log3x
C．y＝logx D．y＝logx
B [设对数函数f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1)，
因为对数函数的图像过点M(9,2)，
所以2＝loga9，所以a2＝9，a＞0，
解得a＝3.
所以此对数函数的解析式为y＝log3x.]
3．对数函数y＝logax与y＝logbx的图像如图，则( )
A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1
D．0＜a＜1,0＜b＜1
C [由对数函数的图像与性质的关系可知，0＜a＜1，b＞1．]
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
A [∵3x＞0，∴3x＋1＞1．
∴log2(3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．]
5．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
[由题意可得0<3a－1<1，
解得
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是对数函数？
[提示] 判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式．
2．本节课常见的易错误区是什么？
[提示] 求与对数函数有关的定义域时漏掉底数大于零且不等于1的规定，或漏掉真数大于0的限制条件．
(教师独具)
对数的应用
为研究某种病毒的传播规律及其治疗和预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死某体内98%的病毒细胞．
天数x
病毒细胞总数y
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
7
64
…
…
1．y与x的函数关系式是什么？
[提示] 由表中数据可知：当x＝1时，y＝1＝20；
当x＝2时，y＝2＝21；当x＝3时，y＝4＝22；……
故可得y与x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)．
2．第几天时该种病毒细胞在小白鼠体内的病毒细胞超过(212＋10)个？
[提示] 令2x－1＝212＋10，得13＜x＜14，故第14天时小白鼠体内的病毒细胞超过(212＋10)个．
3．若在第12天时注射这种药物，则小白鼠体内还剩多少个病毒细胞？(结果保留整数)
[提示] 第12天时，小白鼠体内的病毒细胞有211＝2 048个，所以体内还剩余的病毒细胞有2 048×(1－98%)＝40.96≈41(个)．
4．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物最迟应在何时？(精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[提示] 由题意知病毒细胞总数y与天数x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)，
则由2x－1≤108，两边取以10为底的对数得(x－1)lg 2≤8，从而x≤＋1≈27.58，
即第一次注射该种药物最迟应在第27天．
5．第二次注射该种药物最迟应在何时，才能维持小白鼠的生命？(精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[提示] 由第4问知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞有226×2%个，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞有226×2%×2x个，由题意226×2%×2x≤108，
两边取以10为底的对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.22.
故再经过6天必须注射药物，即第二次注射该种药物应在第33天．
4.2.3 对数函数的性质与图像
学 习 任 务
核 心 素 养(教师独具)
1．理解对数函数的概念、图像及性质．(重点)
2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)
3．初步掌握对数函数的图像和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)
1．通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养．
2．借助对数函数的图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有8 000万至1亿年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
(2)函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
[提示] (1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的t值与之相对应，故t是P的函数．
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．
知识点1 对数函数的定义
一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝logx是对数函数． ( )
(2)函数y＝2log3x是对数函数． ( )
(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)． ( )
[提示] (1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；
(2)×.在解析式y＝logax中，logax的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．
[答案] (1)× (2)× (3)×
知识点2 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图像
定义
y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)
图像
a＞1
0＜a＜1
性
质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
增函数
减函数
过定点
图像过点(1,0)，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，
y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
[提示] 观察图像，总结变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，0
2.下列函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
C [选项A中，y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}；
选项B中，y＝x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≥0}；
选项C中，函数的定义域均为{x|x>0}；
选项D中，y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x∈R且x≠0}．]
3.函数y＝x＋a与函数y＝logax的图像可能是( )
A B C D
C [因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0且a≠1．同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A、D．当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B．]
类型1 对数函数概念的应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝log x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx，其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝______.
(1)D (2)4 [(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．
(2)由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有解得a＝4.]
如何判断一个函数是对数函数？
[提示]
1．(1)函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝________.
(1)1 (2)－3 [(1)由a2－a＋1＝1解得a＝1或a＝0，
又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1．
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]
类型2 对数函数的定义域、值域问题
【例2】 (1)(对接教材P27例3)求下列函数的定义域：
①y＝；
②f(x)＝；
③y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
(2)求下列函数的值域：
①y＝log2(x2＋4)；②y＝log(3＋2x－x2)．
[思路探究] (1)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组．
(2)利用函数的单调性及真数取值范围求解．
[解] (1)①由题意得
即也即x≤1．
故函数y＝的定义域为(－∞，1]．
②由得x<4且x≠3.
故函数f(x)＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
③由题意得解得
故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为∪(1,2)．
(2)①因为t＝x2＋4≥4，且y＝log2t为增函数，
所以y＝log2(x2＋4)≥log24＝2.
即函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
②因为t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
且y＝logt为减函数，
所以log(3＋2x－x2)≥log4＝－2.
即函数y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
(变条件)把本例(1)①函数变成“y＝”，结果如何？
[解] 由题意可知
所以
所以即1≤x<2.
故函数y＝的定义域为[1,2)．
1．求与对数函数有关的定义域时应注意的两点
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．
(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示．
2．求函数值域的方法
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．
类型3 对数函数的图像及性质
1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？
[提示] 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)；在f(x)＝loga(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(1)＝2，所以函数f(x)＝loga(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,2)．
2．从左向右，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凸？
[提示] 当0
3．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示] 作直线y＝1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小，必有a4>a3>1>a2>a1>0.
【例3】 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,0
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[思路探究] (1)已知对数函数的图像⇒图像平移规律求解．
(2)作对数函数图像⇒图像变换⇒构建关于a，b的方程⇒研究函数单调性求解．
(1)D (2)C [(1)∵函数单调递减，∴0
当x＝0时，loga(x＋c)＝logac>0，即c<1．
∴0
所以a＝b(舍去)或b＝，所以a＋2b＝a＋，又0
1．画对数函数图像时要注意的问题
(1)明确图像位置：对数函数图像都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)强化讨论意识：画对数函数图像之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0
2．常见的函数图像的变换技巧
(1)y＝f(x)y＝f(|x|)．
(2)y＝f(x)y＝|f(x)|.
(3)y＝f(x)y＝f(－x)．
(4)y＝f(x)y＝－f(x)．
2．求函数f(x)＝ln(x2＋2x－3)的增区间．
[解] 由x2＋2x－3＞0得，x＜－3或x＞1，所以定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令f(x)＝ln u，u＝x2＋2x－3.因为y＝ln u为增函数，u＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以f(x)＝ln(x2＋2x－3)的增区间为(1，＋∞).
1．函数f(x)＝－lg(1－x)的定义域为( )
A．[－2,1] B．[－2,1)
C．(－2,1) D．[－2，＋∞)
B [⇒－2≤x＜1．]
2．已知对数函数的图像过点M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝log3x
C．y＝logx D．y＝logx
B [设对数函数f(x)＝logax(x＞0，a＞0且a≠1)，
因为对数函数的图像过点M(9,2)，
所以2＝loga9，所以a2＝9，a＞0，
解得a＝3.
所以此对数函数的解析式为y＝log3x.]
3．对数函数y＝logax与y＝logbx的图像如图，则( )
A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1
D．0＜a＜1,0＜b＜1
C [由对数函数的图像与性质的关系可知，0＜a＜1，b＞1．]
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
A [∵3x＞0，∴3x＋1＞1．
∴log2(3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．]
5．函数y＝log(3a－1)x是(0，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
[由题意可得0<3a－1<1，
解得
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是对数函数？
[提示] 判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式．
2．本节课常见的易错误区是什么？
[提示] 求与对数函数有关的定义域时漏掉底数大于零且不等于1的规定，或漏掉真数大于0的限制条件．
(教师独具)
对数的应用
为研究某种病毒的传播规律及其治疗和预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死某体内98%的病毒细胞．
天数x
病毒细胞总数y
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
7
64
…
…
1．y与x的函数关系式是什么？
[提示] 由表中数据可知：当x＝1时，y＝1＝20；
当x＝2时，y＝2＝21；当x＝3时，y＝4＝22；……
故可得y与x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)．
2．第几天时该种病毒细胞在小白鼠体内的病毒细胞超过(212＋10)个？
[提示] 令2x－1＝212＋10，得13＜x＜14，故第14天时小白鼠体内的病毒细胞超过(212＋10)个．
3．若在第12天时注射这种药物，则小白鼠体内还剩多少个病毒细胞？(结果保留整数)
[提示] 第12天时，小白鼠体内的病毒细胞有211＝2 048个，所以体内还剩余的病毒细胞有2 048×(1－98%)＝40.96≈41(个)．
4．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物最迟应在何时？(精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[提示] 由题意知病毒细胞总数y与天数x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)，
则由2x－1≤108，两边取以10为底的对数得(x－1)lg 2≤8，从而x≤＋1≈27.58，
即第一次注射该种药物最迟应在第27天．
5．第二次注射该种药物最迟应在何时，才能维持小白鼠的生命？(精确到天；参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[提示] 由第4问知，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞有226×2%个，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞有226×2%×2x个，由题意226×2%×2x≤108，
两边取以10为底的对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.22.
故再经过6天必须注射药物，即第二次注射该种药物应在第33天．
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