高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用导学案

6.1.4　数乘向量

6.1.5　向量的线性运算

知识点1　数乘向量

1．定义：实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．

2．规定：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，且λa的方向如下：

①当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

②当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．

(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.

3．几何意义

把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．

4．运算律

设λ，μ为实数，则λ(μa)＝(λμ)a；

特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)a＝0，则λa＝0.  (　　)

(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反． (　　)

(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍． (　　)

[提示]　(1)正确．

(2)正确．

(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2.已知|a|＝1，|b|＝3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b＝________a.

－3　[由于|a|＝1，|b|＝3，则|b|＝3|a|，又两向量反向，故b＝－3a.]

知识点2　向量的线性运算

1．向量的加法与数乘向量的混合运算

规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法．

运算律：设对于实数λ与μ，以及向量a，b有

(1)λa＋μa＝(λ＋μ)a.

(2)λ(a＋b)＝λa＋λb.

2．向量的线性运算

向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．

数乘向量与实数的乘法有什么区别？

[提示]　(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.

(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．

3.(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．实数λ与向量a，λ＋a与λ－a的和是向量

B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反

C．λ(a－b)＝λa－λb

D．λa＋μa与(λ＋μ)a的方向都与a的方向相同

BC　[λ＋a与λ－a均无意义，故选项A错误；B、C显然正确；

只有当λ＋μ为正数时，λa＋μa与(λ＋μ)a的方向才都与a的方向相同，故选项D错误．]

4.(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)

A．a－2b　　　　　 B．－2b

C．0 D．b－a

B　[原式＝2a－2a－b－b＝－2b.]

类型1　数乘向量有关概念辨析

【例1】　(多选题)(1)设a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是(　　)

A．－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的2倍

B．3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的

C．－2a与2a是一对相反向量

D．a－b与－(b－a)是一对相反向量

(2)已知|e|＝2，试求a，b的模，并指出a，b的线性关系．

①a＝3e，b＝4e；

②a＝2e，b＝－e.

ABC　[(1)∵－2＜0，∴－2a与a方向相反，

又|－2a|＝2|a|，∴A正确．

∵3＞0，∴3a与a方向相同，∵5＞0，∴5a与a方向相同，

∴3a与5a方向相同．

∵|3a|＝3|a|，|5a|＝5|a|，

∴3a的模是5a的模的，B正确．

按照相反向量的定义可判断，C正确．

∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，

∴a－b与－(b－a)为相等向量，D错误．]

(2)[解]　①|a|＝3|e|＝6，|b|＝4|e|＝8.

∵e＝a，b＝4e，∴b＝a.

②|a|＝2|e|＝4，|b|＝|e|＝1，

∵e＝a，∴b＝－a.

对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：

λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；

λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；

λ＝0时，λa＝0.

提醒：当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.

1．设a是非零向量，λ是非零实数，判断下列说法是否正确．

(1)a与λa的方向相反；(2)|－λa|＝a；

(3)a与λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ||a|.

[解]　(1)若λ＞0，则a与λa的方向相同，故(1)错误；

(2)实数与向量不能比较大小，故(2)错误；

(3)a与λ2a方向相同，故(3)正确；

(4)|－2λa|＝2|λ||a|，故(4)正确．

类型2　向量的线性运算

【例2】　(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.

(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.

[思路探究]　(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简．

(2)可类比解方程方法求解．

(1)－a＋5b－2c　(2)0　[(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.

(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0.]

向量数乘运算的方法

(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

2．若已知向量a，b满足(3a－2c)＋4＋(a＋6b)＝0，则c＝________.

－6a－6b　[(3a－2c)＋4＋(a＋6b)

＝a－c＋c－4b＋a＋6b＝2a＋2b＋c＝0，

所以c＝－2a－2b，c＝－6a－6b.]

类型3　向量平行、三点共线问题

【例3】　(1)如图所示，已知＝，＝，求证：∥.

(2)已知两个非零向量e1和e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．

[证明]　(1)由已知得＝－＝－＝(－)＝，∴∥.

(2)∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，

∴向量与共线．

又和有共同的起点A，∴A，B，D三点共线．

用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路是什么？

[提示]　(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；

(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．

3．(1)已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．

(2)已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求证：a∥b.

[证明]　(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，

∴，共线，又，有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)因为e1，e2共线，

所以存在λ∈R，使e1＝λe2，

所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，

b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2.

当λ≠时，a＝b，

所以a，b共线；

当λ＝时，b＝0，a，b也共线．

综上，a与b共线，即a∥b.

1．下列各式中不表示向量的是(　　)

A．0·a

B．a＋3b

C．|3a|

D．e(x，y∈R，且x≠y)

C　[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．]

2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)

A．a－2b　　　　 B．a

C．a－6b D．a－8b

D　[4(a－b)－3(a＋b)－b

＝4a－4b－3a－3b－b

＝a－8b.]

3．(多选题)对于向量a，b有下列表示，其中，向量a，b一定共线的有(　　)

A．a＝2e，b＝－2e

B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2

C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2

D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2

ABC　[对于A，a＝－b；对于B，a＝－b；对于C，a＝4b；对于D，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故D中a与b不共线．]

4．已知向量a＝2e，b＝－e，则a＝________b.

－2　[a＝2e＝－2(－e)＝－2b.]

5．O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________.

(或)　[设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．你是怎样理解数乘向量的几何意义的？

[提示]　把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．即

当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到原来的|λ|倍；

当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短到原来的|λ|倍．

特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a.

2．两向量平行满足什么条件？

[提示]　如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.

3．如何证明三点共线？

[提示]　一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．