2021学年4.1.2 指数函数的性质与图像学案

这是一份2021学年4.1.2 指数函数的性质与图像学案，共10页。

4.1.2　指数函数的性质与图像
学 习 任 务
核 心 素 养(教师独具)
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质．(重点)
1．通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助指数函数图像与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.


电视剧《西游记》中的孙悟空，是观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小．假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？
问题：(1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？
(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？
[提示](1)y＝1.8×2x(x∈N*)．
(2)y＝1.8×3x(x∈N*)．
通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图像(图略)可观察得出y＝1.8×3x增长的更快．
知识点1　指数函数的定义
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．
指数函数中为什么规定a>0且a≠1?
[提示]　(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；
(2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义；
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数． (　　)
(2)函数y＝2x＋1是指数函数． (　　)
(3)函数y＝(－2)x是指数函数． (　　)
[提示]　(1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图像和性质

a>1
0 图像


性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0,1)
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0 当x>0时，0 当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
2.指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则(　　)

A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．0 C　[函数y＝ax的图像是下降的，所以01．]
3.已知函数y＝在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________．
12　[因为y＝在[－2，－1]上为减函数，所以m＝＝3，n＝＝9，所以m＋n＝12.]
知识点3　比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
4.若2x＋1＜1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D　[不等式2x＋1＜1＝20，
因为y＝2x在R上是增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1．]

类型1　指数函数的概念
【例1】　(1)下列一定是指数函数的是(　　)
A．y＝ax
B．y＝xa(a>0且a≠1)
C．y＝
D．y＝(a－1)ax
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝3　 B．a＝1
C．a＝3 D．a>0且a≠1
[思路探究]　(1)观察函数解析式的形式，看是否满足指数函数的定义，然后下结论．
(2)根据指数函数的定义建立关于a的关系式求解．
(1)C　(2)C　[(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝显然是指数函数；D中只有a－1＝1，即a＝2时为指数函数．
(2)由指数函数定义知
所以解得a＝3.]

如何判断一个函数是指数函数？
[提示]　指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
(4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指数函数．


1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
(1)3x　(2)∪(1，＋∞)　[(1)由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.
(2)由题意可知解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
类型2　指数函数的性质
【例2】　(1)求下列函数的定义域和值域：
①y＝；
②y＝；
③y＝4x＋2x＋1＋2.
(2)求函数y＝的值域与单调区间．
[思路探究]　(1)―→

(2)指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域⇒用换元法将其化为指数函数．
[解]　(1)①要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1．
所以∈[0,1)，
即函数y＝的值域为[0,1)．
②要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以y＝＝＝1，即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
③因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
(2)令t＝2x－x2，则y＝，而t＝－(x－1)2＋1≤1，所以y＝≥，故所求函数的值域为.
因为y＝＝，由于二次函数t＝2x－x2的对称轴为x＝1，可得函数t在(－∞，1]上是增函数，函数y在(－∞，1]上是减函数，故函数y的减区间是(－∞，1]．
函数t在(1，＋∞)上是减函数，函数y在(1，＋∞)上是减函数，故函数y的增区间是(1，＋∞)．

1．函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y＝af(x)的定义域即y＝f(x)的定义域．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)．
②求t＝f(x)的定义域x∈D．
③求t＝f(x)的值域t∈M.
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
2．复合函数的单调性
与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性．
提醒：利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论．


2．已知定义在R上的奇函数f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明f(x)在R上的单调性；
(3)求该函数的值域．
[解]　(1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以即解得
(2)f(x)在R上是增函数，证明如下：
由(1)知f(x)＝.设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为y＝2x是R上的增函数，且x1＜x2，
所以2－2＜0.又因为(2＋1)(2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在R上是增函数．
(3)f(x)＝＝＝1－.
由2x＞0，得2x＋1＞1，所以0＜＜2，
所以－1＜1－＜1，即－1＜f(x)＜1，
所以函数f(x)的值域为(－1,1)．
类型3　指数函数的图像

1．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像又过哪一定点呢？
[提示]　法一：(平移法)∵y＝ax过定点(0,1)，∴将函数y＝ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝ax－1＋2，此时函数图像过定点(1,3)．
法二：(解方程法)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中，令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图像过定点(1,3)．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像可能在第三或第四象限吗？为什么？
[提示]　不可能．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图像只能在第一象限和第二象限．
3．从左向右，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像呈上升趋势还是下降趋势？其图像是上凸还是下凹？
[提示]　当00且a≠1)的图像从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像从左向右呈上升趋势．指数函数的图像下凹．

【例3】　(1)(对接教材P12例1)下列几个函数的图像如图所示：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.

则a，b，c，d与0和1的关系是(　　)
A．0 B．0 C．0 D．1 (2)已知函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2,5]
C．(1,2) D．(1,5]
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
(1)B　(2)B　(3)[－1,1]　[(1)由指数函数图像得到当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，因此得到c>d>1，反之，1>a>b>0，所以0 (2)因为f(1)>1，所以a－1>1，即a>2，因为函数g(x)＝f(x＋1)－4的图像不过第二象限，所以g(0)＝a1－1－4≤0，所以a≤5，所以a的取值范围是(2,5]．
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．]


1．处理函数图像问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图像过定点(0,1)．
(2)巧用图像变换：函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
2．指数型函数图像过定点问题的处理方法
求指数型函数图像所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图像所过的定点．


3．(1)在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝x＋a的图像，可能正确的是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D
(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝的图像(　　)
A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位
(3)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图像是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D
(1)D　(2)A　(3)A　[(1)∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，
又∵当a＞1时，函数y＝ax单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，
A中，从图像上看，y＝ax的a满足a＞1，而直线y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上两条；
B中，从图像上看，y＝ax的a满足0＜a＜1，而直线y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上两条；
C中，从图像上看，y＝ax的a满足a＞1，而函数y＝x＋a单调递减，不符合以上两条，
∴只有选项D的图像符合以上两条，故选D．
(2)因为y＝23－x＝，
所以y＝的图像向右平移3个单位得到y＝，即y＝23－x的图像．
(3)y＝a－|x|＝，易知函数为偶函数，∵0＜a＜1，∴＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A．]

1．下列各函数中是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x　　　　　 B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
D　[根据指数函数的定义，y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确．]
2．若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在(　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
[答案]　A
3．已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|2x＞4}，则A∩B＝(　　)
A．∅ B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
D　[因为函数y＝2x是增函数，所以B＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，故A∩B＝{x|2＜x＜3}．]
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________．(用“＜”连接)
m＜n　[因为a＝，即0＜a＜1，所以f(x)＝ax在R上为减函数，又因为f(m)＞f(n)所以m＜n.]
5．已知a＝23.5，b＝22.5，c＝33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列________．
b＜a＜c　[由指数函数y＝2x知，因为2.5＜3.5，
所以22.5＜23.5，即b＜a，又c＝33.5＞a＝23.5，
故b＜a＜c.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是指数函数？
[提示]　判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1．
2．结合指数函数的图像，请你总结一下指数函数的性质有哪些？
[提示]　定义域、值域、单调性及过定点．
3．本节课的易错点有哪些？
[提示]　本节课的易错点是对指数函数概念理解不够深刻，在解与指数函数有关的函数定义域和值域时致错．
例如：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax＞0.


(教师独具)
函数图像变化规律的探究
为研究函数图像的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f(x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4个函数的图像：(1)y＝f(x－1)；(2)y＝f(|x|)＋1；(3)y＝－f(x)；(4)y＝|f(x)－1|.


1．请分别写出这4个函数的解析式．
[提示]　(1)y＝f(x－1)＝2x－1；
(2)y＝f(|x|)＋1＝2|x|＋1；
(3)y＝－f(x)＝－2x；
(4)y＝|f(x)－1|＝|2x－1|.
2．若给出函数f(x)＝4x的图像，能否由图像变换的方法得到上面这4个函数的图像？若能，试分别写出图像的变换过程．
[提示]　能．(1)将函数y＝f(x)＝4x的图像向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＝4x－1的图像；
(2)保留函数y＝f(x)＝4x在y轴右方的图像，并对称至y轴左边，再向上平移1个单位长度得到y＝f(|x|)＋1＝4|x|＋1的图像．
(3)函数y＝－f(x)＝－4x与y＝f(x)＝4x的图像关于x轴对称．
(4)将函数y＝f(x)＝4x的图像向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x)－1＝4x－1的图像，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数y＝|f(x)－1|＝|4x－1|的图像．