高中人教B版 (2019)5.3.1 样本空间与事件学案

5.2　数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(略)

5.3　概率

5.3.1　样本空间与事件

知识点1　常见现象的特点及分类

1．下列现象是必然现象的是(　　)

A．一天中进入某超市的顾客人数

B．一顾客在超市中购买的商品数

C．一颗麦穗上长着的麦粒数

D．早晨太阳从东方升起

D　[只有D是在一定条件下必然发生的现象，其他三个每次发生的结果不一定相同．]

知识点2　样本点和样本空间

1．随机试验

我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)．

2．样本点与样本空间

把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示．)

2.从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________.

{ab，ac，ad，bc，bd，cd}　[Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．]

知识点3　随机事件及随机事件的概率

1．随机事件、必然事件、不可能事件

(1)随机事件

如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．因此事件A既有可能发生，也有可能不发生．

(2)必然事件与不可能事件

任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件．

(3)事件的表示

一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．

2．随机事件的概率性质

对于任意事件A来说，显然应该有P(∅)≤P(A)≤P(Ω)．因此P(A)应该满足不等式0≤P(A)≤1．

事件的分类是确定的吗？

[提示]　事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“抛掷硬币五次，均正面向上”是不可能事件． (　　)

(2)在平面图形中，三角形的内角和是180°是必然事件． (　　)

(3)经过有信号灯的路口，遇上红灯是随机事件． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

4.下列事件：

①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上绿灯；

③下周六是晴天．

其中，是随机事件的是 (　　)

A．①② B．②③　　　

C．①③　　　 D．②

B　[①是必然事件，②③是随机事件．]

类型1　事件类型的判断

【例1】　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：

(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；

(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；

(3)若x∈R，则x2＋1≥1；

(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．

[解]　(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；

(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件；

(4)中小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．

判断一个事件是哪类事件的方法是什么？

[提示]　判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．

1．下列事件中的随机事件为(　　)

A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c

B．没有水和空气，人也可以生存下去

C．抛掷一枚硬币，反面向上

D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾

C　[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]

类型2　样本点与样本空间

1．如果某个练习投篮的中学生决定投篮5次，那么“他投进6次”“他投进的次数比6小”“他投进3次”分别是什么事件？

[提示]　“他投进6次”是不可能事件；“他投进的次数比6小”是必然事件；“他投进3次”是随机事件．

2．举例说明随机现象与随机事件的区别．

[提示]　行人在十字路口看到的交通信号灯颜色是一种随机现象，看到的是红色是随机事件，看到的是黄色或者是绿色都是一个随机事件．因此随机事件是在同样的条件下重复进行试验时，可能出现的结果都是随机事件，随机现象指的是一个现象在相同的条件下多次观察它，每次观察到的结果不一定相同．

3．先后掷两枚硬币试验的基本事件空间Ω是怎样的？设事件A＝“至少有一次出现正面”，则A怎样表示，A与Ω的关系怎样？如何表示？

[提示]　Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，A是Ω的一个子集，可表示为A⊆Ω.

【例2】　(对接教材P95例2)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验的样本点个数；

(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点？

[思路探究]　根据题意可用列举法按照顺序列举出所要求的样本空间．

[解]　(1)试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．

(2)样本点个数是8.

(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件；

(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

2.1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验的样本点个数；

(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点．

[解]　(1)Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．

(2)样本点个数为10.

(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为(1,5)，(2,4)．

类型3　随机事件发生的概率

【例3】　(对接教材P96例4)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．

(1)写出该试验的样本空间；

(2)用集合表示事件A：恰好摸出1个黑球和1个红球；事件B：至少摸出1个黑球；

(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小．

[解]　(1)用树状图表示所有的结果为：

所以该试验的样本空间为

Ω＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}．

(2)A＝{ac，ad，ae，bc，bd，be}；

B＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}．

(3)因为集合A中包含6个样本点，集合B中包含7个样本点，所以从直观上看，P(A)＜P(B)．

1．随机事件发生的概率是衡量该事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，为人们在日常生活、工作中的决策提供依据．

2．对于任何一个事件0≤P(A)≤1．

3．先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数．

(1)写出对应的样本空间；

(2)用集合表示事件A：点数之和为8，事件B：点数之和不超过8；

(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小(指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可)．

[解]　(1)用(1,2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1,2,3,4,5,6中的数．

因此，样本空间Ω＝{(i，j)|1≤i≤6,1≤j≤6，i∈N，j∈N}．

(2)不难看出A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，

B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)}．

(3)因为A事件发生时，B事件一定发生，也就是说B事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小，因此直观上可知P(A)≤P(B)．

1．下列事件是必然事件的是(　　)

A．如果a，b∈R，那么ab＝ba

B．3＋5＞10

C．连续两次掷同一枚硬币，两次都出现正面朝上

D．＞0

A　[A是必然事件；B中3＋5＞10不可能成立；C是随机事件；D中也可能等于0，是随机事件．]

2．下列说法正确的有(　　)

①任意事件A的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1；

②若事件A的概率趋于0，则A是不可能事件；

③若事件A的概率为0.5，则A是随机事件．

A．0个　　　　　　　　 B．1个

C．2个 D．3个

B　[任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴①错误；不可能事件的概率等于0，但概率趋于0的事件不一定是不可能事件，∴②错误；③正确．故选B．]

3．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为(　　)

A．男女、男男、女女 

B．男女、女男

C．男男、男女、女男、女女 

D．男男、女女

C　[用列举法列举知，C选项正确．]

4．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．

其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．

⑥　④　①②③⑤　[从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“两个正品，一个次品”“一个正品，二个次品”．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．事件的分类确定吗？

[提示]　事件的分类是相对于条件来讲的，在条件变化时，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．

2．有同学认为事件应分为四类：随机事件，必然事件，不可能事件和基本事件，你认为这种分类对吗？为什么？

[提示]　这种分类不对，因为基本事件也是随机事件．

3．样本点与基本事件有何区别？

[提示]　样本点是一个元素，基本事件是含有一个元素的集合．