数学必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.3 古典概型导学案

5.3.3　古典概型

知识点1　古典概型的概念及其特征

1．古典概型的概念

一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．

2．古典概型的特征

(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．

(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．

1．下列有关古典概型的说法不正确的是(　　)

A．试验中样本点只有有限个

B．每个样本点发生的可能性相同

C．每个事件发生的可能性相同

D．样本点的总数为n，随机事件A包含m个样本点，则P(A)＝

C　[根据古典概型的定义知ABD正确，而C中一个事件可能包含多个样本点，因此说每个事件发生的可能性相同，不正确．]

2.下列随机事件的数学模型属于古典概型的是(　　)

A．在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽

B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点

C．某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环

D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会

D　[利用古典概型的两个条件判断．在A中，事件“发芽”与事件“不发芽”发生的概率不一定相等，与古典概型的第二个条件矛盾；在B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无限个结果，这与古典概型的第一个条件矛盾；在C中，命中0环、1环、2环、…、10环的概率都不一样．]

知识点2　古典概型中事件的概率及性质

1．古典概型中事件的概率

在样本空间含有n个样本点的古典概型中，

(1)每个基本事件发生的概率均为.

(2)如果随机事件C包含m个样本点，由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝.

从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？

[提示]　不是．因为有无数个基本事件．

2．古典概型中概率的性质

假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：

(1)由0≤m≤n与P(A)＝可知0≤P(A)≤1．

(2)因为中所含的样本点个数为n－m，所以

P()＝＝1－＝1－P(A)，即P(A)＋P()＝1．

(3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而

P(A＋B)＝＝＋＝P(A)＋P(B)．

3.北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为(　　)

A．　 B．　　　　

C．　　　　 D．

A　[8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为.]

4.从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．

2　[(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．]

类型1　样本点的计数

【例1】　(对接教材P105例3)袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球．

(1)从中任取一球；

(2)从中任取两球；

(3)先后各取一球．

写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数．

[解]　(1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4.

(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6.

(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12.

列样本点的三种方法及注意点是什么？

[提示]　(1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适用于较简单的问题．

(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．

(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求．

提醒：取两个球时，有无顺序；依次取两球时，还要关注取球是否放回．

1．(1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，满足b＞a的样本点有(　　)

A．3个　　　　　 B．9个

C．10个 D．15个

(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则基本事件的个数为________．

(1)A　(2)25　[(1)把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中满足b＞a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个．

(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25.]

类型2　古典概型的判定

【例2】　下列概率模型是古典概型吗？为什么？

(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；

(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．

[思路探究]　根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．

[解]　(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．

(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相等”矛盾．

(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．

判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：

1有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个.

2等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

2．(1)在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率．此试验是否为古典概型？为什么？

(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由．

[解]　(1)在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．

(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有样本点共有6个：即Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，且每个样本点的出现是等可能的，因此属于古典概型．

类型3　古典概型概率的求法

1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？

[提示]　共有6种不同的结果．

2．掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？

[提示]　2,4,6共三种结果．

3．掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？

[提示]　记事件A为落地时向上的点数为偶数，则P(A)＝.

【例3】　现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：

(1)所取的2道题都是甲类题的概率；

(2)所取的2道题不是同一类题的概率．

[思路探究]　用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解．

[解]　(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，样本点共15个．用A表示所取的2道题都是甲类题，

则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，样本点共6个，所以P(A)＝＝.

(2)法一：用B表示所取2道题不是同类题．

则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}．样本点共8个，所以P(B)＝.

法二：用C表示所取2道题是乙类题

则C＝{(5,6)}．由对立事件的概率公式可知所取的2道题不是同一类的概率为

P＝1－[P(A)＋P(C)]＝1－－＝.

古典概型的概率求法

求随机事件的概率时，首先要判断试验是不是古典概型，若是古典概型，则求事件A的概率P(A)的计算步骤是：

(1)计算样本空间所有可能的样本点数n.

(2)计算事件A包含的样本点数m.

(3)计算事件A的概率P(A)＝.

3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：

(1)三次颜色恰有两次同色；

(2)三次颜色全相同；

(3)三次摸到的红球多于白球．

[解]　所有的基本事件个数n＝8个．样本空间Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．

(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．

则A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}

∵A中含有样本点个数为m＝6，

∴P(A)＝＝＝0.75.

(2)记事件B为“三次颜色全相同”．

则B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}

∵B中含有样本点个数为m＝2，

∴P(B)＝＝＝0.25.

(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．

则C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}

∵C中含有样本点个数为m＝4，

∴P(C)＝＝0.5.

1．(多选题)下列试验是古典概型的为(　　)

A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小

B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率

C．近三天中有一天降雨的概率

D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

ABD　[ABD是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响．]

2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)

A．　 B．　　　　

C．　　　　 D．

C　[本题主要考查了古典概型，从集合A，B中任取一个数的所有情况有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，和为4的有(2,2)，(3,1)共2种，则所求概率为P＝＝.]

3．袋中装有红、白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取两次，则两次都取得红球的概率为________．

　[所有可能的样本点有：(红，红)，(红，白)，(白，红)，(白，白)，共4个，故所求概率为.]

4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．

　[考虑B的位置关系，知道B只可能排三个位置，BEE恰是其中一种，因此P＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．古典概型有哪些特征？

[提示]　有限性与等可能性．

2．若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？

[提示]　不是，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．

3．求古典概型概率的步骤是怎样的？

[提示]　(1)先判断是否为古典概型；

(2)确定样本点的总数n；

(3)确定事件A包含的样本点个数m；

(4)计算事件A的概率，即P(A)＝.