人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.3 平面向量线性运算的应用学案

6.1.3　向量的减法

知识点　向量的减法

1．向量的减法

(1)向量减法的定义

一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b.

(2)向量减法的三角形法则

已知向量a，b，作＝a，作＝b，则＋＝，向量就是向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.

(3)向量减法的两个重要结论

①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．

②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．

2．相反向量

(1)相反向量的定义

与向量a方向相反大小相等的向量称为a的相反向量，记作－a.

(2)相反向量的性质

①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；

②－(－a)＝a；

③零向量的相反向量仍是0，即00.

(3)向量减法的理解

向量的减法可以看成向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)，也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量．

“向量的减法实质是向量加法的逆运算”，这种说法对吗？

[提示]　对．利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为向量加法．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)－＝.  (　　)

(2)若－b与a同向，则a－b与a同向． (　　)

(3)向量的减法不满足结合律．  (　　)

[提示]　(1)×.－＝.

(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．

(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2.在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a－b　　　　 B．b－a

C．a＋b D．－a－b

B　[＝＋＝＋(－)＝b－a.]

3.下列等式中，正确的个数为(　　)

①0－＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.

A．3　 B．4 

C．5　　　　 D．6

C　[只有⑥不正确，故选C．]

类型1　向量减法及其几何意义

【例1】　(对接教材P143例1)(1)四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

(2)化简：①＋－＝________；

②－－－＝________.

(1)A　(2)①0　　[(1)＝－＝(＋)－＝a＋c－b.

(2)①＋－＝＋(－)＝＋＝0；

②－－－＝(－)－(＋)＝.]

作两个向量的差向量有哪两种思路？

[提示]　(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

1．(多选题)下列各式中能化简为的是(　　)

A．(－)－　　　

B．－(＋)

C．－(＋)－(＋) 

D．－－＋

ABC　[选项A中(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中－(＋)＝－0＝；选项C中－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.选项D不能化简为.]

类型2　用已知向量表示其他向量

【例2】　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.

[思路探究]　解答本题要注意＝，及向量加减法几何意义的应用．

[解]　因为四边形ACDE是平行四边形，

所以＝＝c，＝－＝b－a，

故＝＋＝b－a＋c.

1．利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意

(1)一个关键

一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

(2)三点注意

①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系．

②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律．

③注意在封闭图形中利用多边形法则．

2．用已知向量表示其他向量的一般步骤

(1)观察待表示的向量位置．

(2)寻找相应的平行四边形或三角形．

(3)运用法则找关系，化简得结果．

2．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.

a＋c－b　[因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.]

类型3　向量减法的三角不等式及其取等条件

1．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是什么？

[提示]　由＝＋及三角不等式，得||－||≤|＋|≤||＋||，又因为||＝||＝8，所以3≤||＝|＋|≤13，即||∈[3,13]．

2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？

[提示]　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．

(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.

(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.

综上所述，得不等式

||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

【例3】　设a和b的长度均为6，夹角为120°，则|a－b|等于________．

[思路探究]　画出平行四边形数形结合求解．

6　[如图，作＝a，＝b，

则|a－b|＝||，

在Rt△BCO中，

∠BOC＝60°，||＝6，

∴||＝3，

∴|a－b|＝||＝2||＝6.]

向量加法与减法的几何意义的联系

(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.

(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.

3．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________，||的取值范围是________．

2　(0,4)　[因为－＋＝＋＋＝，

又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.

又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，

所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，

即0<||<4.]

1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则的相反向量是(　　)

A．a－b B．b－a　　　

C．a＋b　　　 D．－a－b

A　[＝－＝b－a，所以的相反向量为a－b.]

2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)

A．＝＋　　 B．＝－

C．＝－＋ D．＝－－

B　[＝＋＝－＝－.]

3．(多选题)可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是(　　)

A．①　 B．② 

C．③　　　　 D．④

AD　[因为＋＝，－＝，所以选AD．]

4．在△ABC中，D为BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________.

c　[d－a＝d＋(－a)＝＋＝＝c.]

5．化简：(－)－(－)＝________.

0　[法一：(－)－(－)

＝－－＋

＝＋＋＋

＝(＋)＋(＋)

＝＋＝0.

法二：(－)－(－)

＝－－＋

＝(－)＋(－)

＝＋＝0.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．向量减法运算的常用方法是什么？

[提示]　

2．向量加减法化简的两种形式是怎样的？

[提示]　(1)首尾相连且为和．

(2)起点相同且为差．

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．

3．a，b的模与a－b的模有怎样的不等式关系？

[提示]　a，b的模与a－b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.