高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积导学案，共7页。
6．3　球的表面积和体积学 习 任 务核 心 素 养1．了解球的结构和性质．(重点)2．了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.(重点)3．会解决与球有关的切、接问题．(重点、难点)1．通过对球的结构和性质的学习，培养学生直观想象素养．2．通过利用球的表面积和体积公式计算球的表面积和体积，培养学生数学运算素养． 从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展开成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展开成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得的圆内接正多边形的边数越多，圆周率就越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．问题1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？问题2：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？问题3：类比利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．如此，我们可以得到球的体积公式是什么？知识点1　球的截面用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：(1)若平面α过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆．(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则O′P＝，即此时截线是以O′为圆心，以r＝为半径的球的小圆．知识点2　球的切线(1)定义：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；②过球外一点的所有切线的切线长都相等．1.半径为R的球O的切线AP的切点为P，AP、R和AO三者之间有什么关系？提示：AO2＝AP2＋R2知识点3　球的表面积与体积公式条件球的半径为R表面积公式S球面＝4πR2体积公式V球＝πR32.球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？提示：球的表面积等于它的大圆面积的4倍．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4. (　　)(2)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面． (　　)(3)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径． (　　)提示：(1)错误．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶8.(2)正确．(3)正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2.表面积为8π的球的半径是________．[答案]　 类型1　球的表面积和体积【例1】　直径长为6的球的表面积和体积分别是(　　)A．36π，144π　 B．36π，36πC．144π，36π     D．144π，144πB　[球的半径长为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.故选B.](1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．(2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．1．球的体积是，则此球的表面积是(　　)A．12π     B．16πC．     D．B　[设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.] 类型2　球的截面问题【例2】　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)A． cm3B． cm3C． cm3 D． cm3 A　[如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm).设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3).]球截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是(　　)A． cm3     B． cm3C． cm3     D． cm3C　[根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3).] 类型3　与球有关的切、接问题【例3】　(教材北师版P243例6、7改编)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为(　　)A．     B．2C．13     D．31.若一个球内切于某个多面体的面，如何求出球的半径？[提示]　若一个球内切于某个几何体，则连接切点和球心的直线垂直于这个多面体的面，构造直角三角形，即可求出球的半径．2.若一个球外接于某个多面体，如何求出球的半径？[提示]　若一个球外接于某个多面体，则连接球心和多面体的顶点就是球的半径，一般是找到截面，把问题平面化求解．3.→C　[因为三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直．△ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，BC1＝＝13，所以球的直径为13.]1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？[解]　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，V内切球＝πr3＝π×23＝.2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？[解]　设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？[解]　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解(其R为球的半径).3．棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．[解]　把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x.由题知2R＝x＝a.∴S球＝4πR2＝a2π＝a2π.1．若球的大圆的周长是C，则这个球的表面积是(　　)A．    B．    C．    D．2πC2C　[由2πR＝C，得R＝，∴S球面＝4πR2＝.]2．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)A．R    B．2R    C．3R    D．4RD　[设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，得h＝4R.]3．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)A．π     B．    C．4π     D．32πC　[设正方体的棱长为a，由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.]4．若一个球的直径是10 cm，则它的体积为________cm3.π　[由题意知其半径为R＝＝5(cm)，故其体积为V＝πR3＝×π×53＝π(cm3).]5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．8　4　[球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝π(2R)3＝πR3，表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.所以＝＝8，＝＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何求解与球有关的问题？[提示]　(1)球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．(2)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．2.处理与球有关的问题时，应注意哪些问题？[提示]　处理与球有关的问题应注意下面几点：(1)截面问题．R2＝d2＋r2(d为球心到截面的距离，r是截面圆的半径).(2)接、切问题．确定球心的位置，球心到接、切点的距离等于球的半径．(3)轴截面问题．球是旋转体，轴截面通常是解决问题的平台．