高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直第2课时学案

这是一份高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直第2课时学案，共6页。
第2课时　直线与平面垂直的判定 学 习 任 务核 心 素 养1．掌握直线与平面垂直的判定定理．(重点)2．会用直线与平面垂直的判定定理解决相关的问题．(重点、难点)1．通过对直线与平面垂直的判定定理的发现，培养学生数学抽象素养．2．通过利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，培养学生逻辑推理素养． 鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫作曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图，如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？问题2：问题1说明了直线与平面垂直的条件是什么？问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？知识点　直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b, a∩b＝A⇒l⊥α图形语言1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？[提示]　当这两条直线平行时，直线可与平面相交，但不一定垂直．2．如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？[提示]　垂直．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α. (　　)(2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.  (　　)(3)若直线l与平面四边形的两边所在的直线垂直，则l就和这个平面垂直．  (　　)[提示]　(1)错误．直线l与平面α可能平行，也可能相交但不垂直．(2)错误．a也可能在平面α内．(3)错误．若平面四边形的两条边平行，则不能保证l和这个平面垂直．[答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　对直线与平面垂直的判定定理的理解【例1】　下列说法正确的有________(填序号).①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．②　[因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．](1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)A．平面OAB　　 B．平面OACC．平面OBC     D．平面ABCC　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.] 类型2　直线与平面垂直的判定【例2】　(教材北师版P230例4改编)如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.[证明]　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴NQ⊥PB.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．2.如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明]　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且SD∩AC＝D，SD、AC⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC. 类型3　判定定理和线面角的综合应用【例3】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小．1.我们知道，求线面角的关键是找到平面的垂线并作出线面角，那么如何寻找平面的垂线？[提示]　根据直线与平面垂直的判定定理，和平面内两条相交直线都垂直的直线就是该平面的垂线．2.求斜线和平面所成的角时，一般要过斜线上一点作平面的垂线，那么这斜线上的一点应该如何选取？[提示]　斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．3.→→→[解]　如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的投影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.1．例3的条件不变，求直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小．[解]　∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.2．例3的条件不变，求A1B与平面BB1D1D所成的角．[解]　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.又∵∠A1OB＝90°，∴sin ∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.求直线与平面所成角(1)求解步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影，斜线与其投影所成的锐角或直角即为所求的角．③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养． 3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值．[解]　如图，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.设O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角．在Rt△SOA中，∵AO＝×a＝a，∴cos ∠SAO＝＝＝，即侧棱与底面所成角的余弦值为.1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)A．平行　 B．垂直C．相交     D．不确定B　[由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.]2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)A．平行     B．垂直C．在平面α内     D．无法确定D　[当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．]3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)A．α∥β，且m⊂α　 B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β  D．m⊥n，且n∥βB　[A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.]4．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．a，b相交　[由线面垂直的判定定理可知，需添加的一个条件是直线a，b相交．]5．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号).①③④　[根据直线与平面垂直的判定定理，知平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.直线与平面垂直的判定方法有哪些？[提示]　直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.,2.线线垂直的判定方法有哪些？[提示]　线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．