数学必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理导学案及答案

3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)

知识点1　基本事实4

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

知识点2　空间两条直线的位置关系

(1)异面直线的概念

①定义：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线．

②异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．如图所示．

(2)空间两条直线的位置关系

1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

[提示]　不一定．可能相交、平行或异面．

1.如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是(　　)

A．共面     B．平行

C．异面     D．平行或异面

D　[空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．]

知识点3　等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

2.已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°      B．30°或150°

C．150°     D．以上结论都不对

B　[由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.]

知识点4　(1)异面直线所成的角

(2)空间四边形

四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形．

2.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

[提示]　相等．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线． (　　)

(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行． (　　)

(3)两条直线无公共点，则这两条直线平行． (　　)

(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (　　)

[提示]　(1)错误．不同在任何一个平面内的两条直线才是异面直线．

(2)正确．

(3)错误．这两条直线也可能异面．

(4)错误．这两条直线可能相交或异面．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

类型1　基本事实4与等角定理的应用

【例1】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.

[证明]　 (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1 綊AM，

∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A 綊M1M.

又∵A1A 綊B1B，∴M1M 綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．

1.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1.

[证明]　(1)如图，连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝AC.

由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A1C1.

又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

类型2　空间两条直线位置关系的判定

【例2】　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]

(1)判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断．

(2)判定两条直线是异面直线的方法

①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).

2．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号).

③　[①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．]

类型3　异面直线所成角的求法

【例3】　(教材北师版P213例2改编)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．

1.根据两异面直线所成角的定义，求两异面直线所成角的步骤是什么？

[提示]　①作角：平移成相交直线．

②证明：用定义证明前一步为所求的角．

③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．

2.→→

[解]　如图，取BD的中点G，连接EG，FG.

因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，

所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB.

所以∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG＝GF.

因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.

所以△EFG为等腰直角三角形．

所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.

(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．

(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角，这是由异面直线所成角的范围是决定的．

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为(　　)

A．30°     B．45°

C．60°     D．90°

B　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.]

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)

A．一定平行     B．一定相交

C．一定是异面直线   D．一定垂直

D　[因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.]

2.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是(　　)

A．矩形

B．正方形

C．菱形

D．梯形

C　[利用E，F，G，H分别为各边中点，可得四边形EFGH是平行四边形．又由对角线AC，BD相等，可得四边形EFGH一定是菱形．故选C.]

3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是(　　)

A．正方形     B．菱形

C．矩形     D．空间四边形

B　[设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]

4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形

的周长为(　　)

A．10    B．20    C．8    D．4

B　[设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝AC＝4，FG＝HE＝BD＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20.]

5．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a与OB所成角的大小为________．

60°　[因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成角为锐角或直角，所以a与OB所成角为60°.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何判断两直线的位置关系？

[提示]　判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2.如何求两异面直线所成角的大小？

[提示]　求两异面直线所成角的大小的关键是作出这个角，作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).