高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 二倍角公式导学案

§3　二倍角的三角函数公式

3．1　二倍角公式

知识点1　二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α，(S2α)

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)

tan2α＝.(T2α)

1.已知sinα＝，cos α＝，则sin 2α等于(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.]

知识点2　二倍角公式的变形

(1)公式的逆用

2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，

cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan 2α.

(2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式

升幂公式

1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，

1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

降幂公式

cos2α＝，sin2α＝.

1.什么情况下sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α？

[提示]　一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin ≠2sin ，只有当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α才成立．只有当α＝kπ(k∈Z)时，tan 2α＝2tan α成立．

2．sin 3α用二倍角公式展开是什么？

[提示]　sin 3α＝2sin cos .

2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)sin α＝2sin cos .  (　　)

(2)cos 4α＝cos22α－sin22α.  (　　)

(3)对任意角α，tan2α＝.  (　　)

(4)cos2α＝.  (　　)

[提示]　(1)正确；(2)正确．

(3)错误，公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义．

(4)错误，cos2α＝.

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

类型1　给角求值问题

【例1】　(教材北师版P154例1改编)求下列各式的值：

(1)sin cos ；(2)1－2sin2750°；(3)；

(4)cos20°cos 40°cos 80°.

[解]　 (1)原式＝＝＝.

(2)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)

＝cos 60°＝.

(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－.

(4)原式＝＝

＝＝＝.

此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．

1．求下列各式的值．

(1)sin sin ；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos2－1；(4).

[解]　(1)∵sin ＝sin ＝cos ，

∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos ＝sin ＝.

(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，

∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.

(3)2cos2－1＝cos＝－.

(4)＝＝tan60°＝.

类型2　三角函数式的化简

【例2】　化简：.

[解]　法一：原式＝

＝＝＝＝1.

法二：原式＝

＝

＝

＝＝1.

三角函数式的化简有哪些要求及方法

(1)对于三角函数式的化简有下列要求：

①能求出值的应求出值．②使三角函数种数尽量少．③使三角函数式中的项数尽量少．④尽量使分母不含有三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．

(2)化简的方法：

①弦切互化，异名化同名，异角化同角．

②降幂或升幂．

2．化简下列各式：

(1)若＜α＜，则＝________；

 (2)若α为第三象限角，则－＝________．

(1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，

∴sin α＞cos α，

∴＝

＝

＝＝sin α－cos α.

(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，

∴－＝－＝－＝0.]

类型3　条件求值问题

【例3】　已知cos ＝，≤α<，求cos 的值．

1．对于条件求值问题，要从哪几个方面观察条件和所求之间的联系？

[提示]　从函数名和角两个方面来观察条件和所求之间的联系．

2. 条件求值问题有哪两种解题途径？

[提示]　①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢．②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．

[解]　∵≤α<，

∴≤α＋<.

∵cos >0，

∴<α＋<.

∴sin ＝－ ＝－＝－.

∴cos 2α＝sin ＝2sin cos ＝2××＝－，

sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝.

∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－.

解决给值求值问题的方法

给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：

(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；

(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．

3．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．

[解]　原式＝＝.

∵α为第二象限角，且sin α＝，∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－，

∴原式＝＝－.

1．已知cos x＝，则cos 2x＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

D　[cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝，

故选D.]

2.sin cos 的值等于(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[原式＝sin ＝.]

3．若sin ＝，则cos α＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

C　[因为sin ＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.]

4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________．

－　[因为α为第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－，所以tan α＝，所以tan 2α＝＝－.]

5．(cos－sin )(cos ＋sin )的值为________．

　[原式＝cos2－sin2＝cos ＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.怎样理解“二倍角”的意义？

[提示]　对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；的二倍；是.

2.二倍角公式的常见变形形式还有哪些？

[提示]　在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：

①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝；③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝．