北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台学案

§1　基本立体图形

1．1　构成空间几何体的基本元素

1．2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

知识点1　空间几何体的基本元素

(1)空间几何体的基本元素：任意一个几何体都是由点、线、面构成的，点、线、面是构成几何体的基本元素．

(2)平面：

①平面的画法：

②平面的表示方法：

用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.

用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面ABCD.

用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示，如平面AC.

(3)多面体及相关概念

由平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．

知识点2　棱柱

1.关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号).

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；

(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．

(2)　[(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．

(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．]

知识点3　棱锥

1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥吗？

[提示]　不一定是．只有当这些三角形有公共的顶点时才是棱锥．

2.下列棱锥有6个面的是(　　)

A．三棱锥    B．四棱锥    C．五棱锥    D．六棱锥

[答案]　C

知识点4　棱台

2.棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？

[提示]　因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台的各侧棱延长线一定相交于一点．

3.有两个面平行的多面体不可能是(　　)

A．棱柱     B．棱锥

C．棱台     D．以上都错

B　[棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．所以有两个面平行的多面体不可能是棱锥．]

类型1　棱柱的结构特征

【例1】　下列命题中，正确的是(　　)

A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

D　[A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.

]

(1)　　　　　　　(2)

有关棱柱的结构特征问题的解题策略

(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析

①两个面互相平行；

②其余各面是平行四边形；

③每相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．

1．下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　)

A．三棱柱的底面为三角形

B．一个棱柱至少有五个面

C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等

D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

C　[显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.]

类型2　棱锥和棱台的结构特征

【例2】　(教材北师版P198练习1改编)(1)下列说法正确的有(　　)

①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；

②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；

③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

(2)下列说法正确的有________个．

①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

②正棱锥的侧面是等边三角形；

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

(1)A　(2)0　[由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．

(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．

②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．

③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．]

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法：

2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　　)

A.三棱锥     B．四棱锥

C.五棱锥     D．六棱锥

D　[由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此一定不是六棱锥．]

类型3　多面体的平面展开图问题

【例3】　长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．

1.如何把一个多面体的侧面展开？

[提示]　在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

2.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

,

①　　　　②　　　　　③

[提示]　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

3.→→→

[解]　沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展开在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：

(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4.

(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.

(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.

相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.

求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展开在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．

3.如图为某几何体的平面展开图．

(1)沿图中虚线折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出该几何体；

(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？

[解]　(1)能折叠成一个有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图①所示．

图①　　　　　　图②

(2)需要3个图①中的几何体，如图②所示，分别为四棱锥A1­CDD1C1，四棱锥A1­ABCD，四棱锥A1­BCC1B1.

1．下列说法正确的是(　　)

A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

C．棱台的底面是两个相似的正方形

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

D　[A错误．只有用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台．

B错误．反例：长方体的相对的侧面也相互平行．

C错误．棱台的底面是两个相似的多边形，不一定是正方形．

D正确．因为棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得的，所以棱台的侧棱延长后必交于一点．]

2．(多选题)下面图形中，为棱锥的是(　　)

A　 　　B　　　C　　　　D

ABD　[根据棱锥的定义和结构特征可以判断，AB是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥．故选ABD.]

3．下列说法中正确的是(　　)

A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B．棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行

C．棱柱的侧棱就是棱柱的高

D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

A　[棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．]

4．下列图形中，不能折成三棱柱的是(　　)

A　　　　B　　　C　　　　D

C　[C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．]

5．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________(填序号).

①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．

①②　[如图①所示，用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；如图②所示，用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．

图①　　　　图②]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.在棱柱、棱锥的定义中应注意哪些问题？

[提示]　棱柱、棱锥定义的关注点

(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有两个平面(底面)互相平行；

②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．

(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有一个面(底面)是多边形；

②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．

2.棱柱、棱锥、棱台三者图形之间有怎样的关系？

[提示]　棱柱、棱台、棱锥关系图