数学必修 第二册1.1 位移、速度、力与向量的概念学案及答案

§1　从位移、速度、力到向量

知识点1　向量的概念

数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).

两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？

[提示]　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．

知识点2　向量的表示方法

(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作.

(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a|.箭头所指的方向表示向量的方向．

知识点3　零向量与单位向量

(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或；

(2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．

1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．

[答案]　一条直线　两个点

知识点4　向量的基本关系

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a＝b.

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线．

(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量记作－a；

规定零向量的相反向量是零向量．

2.下列说法错误的是(　　)

A．若a＝0，则＝0

B．零向量是没有方向的

C．零向量与任意向量平行

D．零向量与任意向量垂直

B　[零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B是错误的．]

知识点5　向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角；

(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：

θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直．

3.等边△ABC中，与的夹角是________，与的夹角是________．

[答案]　60°　120°

类型1　向量的有关概念

【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由．

(1)a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

(2)若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

(3)在平行四边形ABCD中，一定有＝；

(4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0.

[解]　(1)当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．

(2)＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．

(3)在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，(3)正确．

(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．

1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．

2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．

1．已知O是△ABC的外心，则，，是(　　)

A．相等向量　　　　 B．平行向量

C．模相等的向量     D．起点相同的向量

C　[＝＝＝r.]

类型2　向量的表示

【例2】　(教材北师版P75例1改编)一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地．

(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

[解]　(1)向量，，，，如图所示．

(2)由题意知＝，

∴AD与BC平行且相等，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，

∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．

2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).

(1)||＝4，点A在点O正北方向；

(2)||＝2，点B在点O东偏南45°方向；

(3)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝，并说出c的终点的轨迹是什么？

[解]　(1)(2)(3)的图象如图所示．

(3)c的终点轨迹是以C为圆心，半径为的圆．

类型3　共线向量与夹角

【例3】　(教材北师版P76例2改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，

(1)分别写出图中所示与，，相等的向量；

(2)分别求出与，与的夹角的大小．

[解]　(1)＝＝；＝＝；＝＝＝.

(2)与的夹角的大小为60°，与的夹角的大小为60°.

判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．

3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．

(1)写出与、相等的向量；

(2)写出与模相等的向量；

(3)求与夹角的度数．

[解]　(1)＝＝，＝.

(2)，，.

(3)因为＝，所以与夹角为∠EAF＝45°.

1．下列结论正确的个数是(　　)

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

②向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

③若|a|＞|b|，则a＞b.

A．0    B．1    C．2    D．3

B　[①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故②对．]

2．(多选题)下列说法错误的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a＝±b

B．零向量的长度是0

C．长度相等的向量称为相等向量

D．共线向量是在同一条直线上的向量

ACD　[对A，当|a|＝|b|时，由于a，b方向不一定相同，a＝±b未必成立，所以A错误；对B，零向量的长度是0，正确；对C，长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；对D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选ACD.]

3．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则这个四边形是(　　)

A．正方形    B．矩形    C．等腰梯形    D．菱形

D　[由＝可知AB∥DC，且||＝||，

所以四边形ABCD为平行四边形．

又||＝||，

所以平行四边形ABCD为菱形．故选D.]

4．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量是________．

[答案]　与，与

5.如图所示的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAB＝60°，则与的夹角为________；与的夹角为________．

30°　180°　[由图知，与的夹角与∠DAO是对顶角，

又因∠DAB＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO＝30°，故与的夹角为30°，与为相反向量，故与的夹角为180°.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？

[提示]　用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．

2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？

[提示]　共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．