高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行第2课时学案

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第2课时　直线与平面平行的判定学 习 任 务核 心 素 养1．理解直线与平面平行的判定定理．(重点)2．掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．(重点、难点)1．通过对直线与平面平行判定定理的归纳及发现，培养学生数学抽象素养．2．借助于线面平行判定定理的应用，培养学生逻辑推理素养． 门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要不关门，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与门框存在不变的位置关系．问题1：情境中存在着不变的位置关系是指什么？问题2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？问题3：若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？知识点　直线与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行⇒l∥α1.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？[提示]　平行．2．如果一条直线与一个平面内无数条直线都平行，那么该直线与平面具有什么位置关系？[提示]　平行或在平面内．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α. (　　)(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行． (　　)(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．  (　　)[提示]　(1)错误．当直线l与平面α相交时，在直线l上也存在两点到平面α的距离相等．(2)错误．若直线l与平面α平行时，l与平面α内的直线平行或异面．(3)错误．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条与这个平面可能平行，也可能在这个平面内．[答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　直线和平面平行的判定【例1】　(教材北师版P218例4改编)已知正方形ABCD，如图(1)，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.[证明]　　∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.应用判定定理证明线面平行的步骤,上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．易错警示：线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊂α与b⊄α.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．1.如图，O是长方体ABCD­A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.[证明]　如图，连接B1D1交A1C1于O1，连接DO1.∵O1B1∥DO，O1B1＝DO，∴O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D. 类型2　线面平行的判定与性质的综合应用【例2】　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.1.利用线面平行的性质定理和判定定理是如何实现线、面之间的平行关系转化的？[提示]　2.证明平行关系的一般思路是什么？[提示]　证明平行关系的一般思路是：“由已知想性质，由求证想判定”，即看到题目的条件要想到这个已知条件有什么性质，看到要求证的结论要想到应用什么样的判定方法去证明. 3.→→[证明]　连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.本例条件不变，求证：GH∥平面PAD.[证明]　由例2证得AP∥GH.又AP⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.直线与平面平行的判定定理与性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行．2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.[证明]　∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵AC⊂平面AB1C，平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG. 类型3　线面平行的探索性问题【例3】　在三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解]　如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，因此MD∥OE且MD＝OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.平行中的探索问题解题策略1.主要类型：(1)对平行关系的探索；(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索．2.解题思路：首先假设存在，然后在这个假设的条件下推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，若推出了矛盾就否定假设．3.注意事项：(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来；(2)在转化过程中要有理有据，不能凭空猜测．3.如图， M，N分别是底面为矩形的四棱锥P­ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.[证明]　如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.∵N是PC的中点，∴EN綊DC.又∵AM綊CD，∴NE綊AM.∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交D　[由直线和平面平行的概念可知选D.]2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥bD　[由线面平行的判定定理可知，D正确．]3．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行C　[选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．]4.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)A．1个　　 B．2个　　　C．3个     D．4个D　[由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．]5.如图，在五面体FE­ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．平行　[因为MN∥CF, ED∥CF，所以MN∥ ED，又MN⊄平面ADE，ED⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何运用直线与平面平行的判定定理解决问题？[提示]　在用直线与平面平行的判定定理判定直线与平面平行时，关键是在已知平面内找到与已知直线平行的直线，其方法是根据图形特征，利用平行投影来确定与已知直线平行的直线．2.证明线面平行的常用方法有哪些？[提示]　判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．