北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用导学案

§8　三角函数的简单应用

问题　1.仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？

2．以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？

知识点　利用三角函数模型解决实际问题的步骤

(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．

(2)画散点图，选择函数模型进行拟合．

(3)利用三角函数模型解决实际问题．

(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．

在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中，如何用函数的最值表示A，B?

[提示]　因为ymax＝A＋B，ymin＝－A＋B，所以A＝，B＝.

如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A.该质点的振动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零

B　[由图象可知，该质点的振动周期是2×(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B.]

类型1　三角函数模型在物理中的应用

【例1】　(教材北师版P66习题A组第3题改编)交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin 来表示，求：

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

交流电压与时间的关系呈现周期性变化，t＝0时即为初始电压，求周期和最值可直接运用性质．

[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.

(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220  V.

当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．

三角函数模型处理物理学问题的策略

(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；

(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．

1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin .

(1)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？

(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

(3)单摆来回摆动一次需要多少时间？

[解]　(1)当t＝0时，s＝6sin ＝6× ＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.

(2)s＝6sin 的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.

(3)s＝6sin 的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s．

类型2　三角函数模型的实际应用

【例2】　(教材北师版P64例题改编)某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：

根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝A sin ωt＋b的图象．

(1)试根据以上数据，求函数解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？

(1)根据题意确定A，b，ω.(2)根据题意水深y≥11.5可求解．

[解]　(1)从拟合曲线可知，函数y＝A sin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，

∴函数的最小正周期为12 h，

因此＝12，得ω＝.

∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10.

∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.

∴所求函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24).

(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m).

∴当y≥11.5时就可以进港．

令y＝3sin t＋10≥11.5，得sin t≥ ，

∴＋2kπ≤ t≤ ＋2kπ(k∈Z)，∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z).

取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17；

取k＝2，则25≤t≤29(不合题意).

因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时．

根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识包括三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．

2.如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；

(2)估计当年3月1日动物种群数量．

[解]　(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，

则解得A＝100，b＝800.

又周期T＝2×6＝12，

∴ω＝＝，

∴y＝100sin ＋800.又当t＝6时，y＝900，

∴900＝100sin ＋800，

∴sin (π＋φ)＝1，

∴sin φ＝－1，

∴可取φ＝－，

∴y＝100sin ＋800.

(2)当t＝2时，y＝100sin ＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.

类型3　三角函数模型的拟合

【例3】　下表是某地某年月平均气温(华氏)：

以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．

(1)用正弦曲线去拟合这些数据；

(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；

(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？

①＝cos ；

②＝cos ；

③＝cos .

[解]　(1)如图．

(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，

故＝7－1＝6，所以T＝12.

因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，

即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.

(3)因为模型①的周期为12π，所以由(2)知①错误；由模型②知当x＝0时，y取最大值，而x＝月份－1，即1月份的气温最高，这与(2)中的结论矛盾，所以应选③.

根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．

3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．

y＝－4cos t　[设y＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin(t－)，即y＝－4cos t.]

1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)

A．    B．    C．    D．

D　[T＝，＝＝2π，则l＝.]

2．据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋7来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为(　　)

A．4.2万元     B．5.6万元

C．7万元     D．8.4万元

D　[由题知A＝2，T＝2×(7－3)＝8，

∴ω＝，φ＝－.

∴f(x)＝2sin ＋7，

把x＝10代入得y＝7＋≈8.4万元．]

3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0，5]    B．[5，10]    C．[10，15]     D．[15，20]

C　[由2kπ－ ≤  ≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.]

4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

C　[取特殊值检验，由题意及题图知f(0)＝，排除A，D，又f＝0，故选C.]

5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.

20.5　[由题意得∴

∴y＝23＋5cos ，

当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.三角函数模型是重点研究哪类现象的重要模型？

[提示]　三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)时有着广泛的应用．

2.构建三角函数模型的前提与关键是什么？

[提示]　构建三角函数模型解题的前提是掌握三角函数的图象与性质，关键是：收集数据，制作散点图，然后根据散点图的特点选择函数模型进行拟合．