北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数2 复数的四则运算2.3 复数乘法几何意义初探学案

2．2　复数的乘法与除法

*2．3　复数乘法几何意义初探

知识点1　复数的乘法

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

(3)复数的指数幂的运算性质

对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z．

(4)虚数单位i乘方的周期性

对于任意自然数n，有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．

(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝||2＝|z|2＝a2＋b2．

(6)复数乘法的几何意义

设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为OZ1．

①z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为OZ2，则OZ2是OZ1与c的数乘，即OZ2是将OZ1沿原方向拉伸或压缩c倍得到的．

②z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为OZ3，则OZ3是由OZ1逆时针旋转得到的．

1.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相似？

[提示]　相似，但是运算的结果要把i2写成－1.

1.复数(1＋i)(1－i)＝________．

2　[(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2.]

知识点2　复数的除法

(1)复数的除法：

对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·.即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝－i．

(2)复数除法的运算：

在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝－i．

由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．

2.类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？

提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.

2.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A．－i    B．i    C．－1    D．1

A　[z＝＝－i.]

类型1　复数的乘法及其几何意义

【例1】　(1)(教材北师版P171例5改编)计算：①(2＋i)(2－i)；②(1＋2i)2.

(2)设O是坐标原点，在矩形OABC(点O，A，B，C按逆时针排列)中，OA＝3OC，若A对应的复数是3＋4i，求点B，C所对应的复数．

[解]　(1)①(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；

②(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

(2)因为在矩形OABC中，OA＝3OC，且A对应的复数是3＋4i，

所以点C对应的复数为(3＋4i)·i＝－＋i，

因为＝(3，4)，＝，所以＝＋＝，

所以点B对应的复数为＋5i.

1.两个复数代数形式乘法的运算步骤

(1)首先按多项式的乘法展开；

(2)再将i2换成－1；

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2.常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)

A．2－13i　　 B．13＋2i

C．13－13i     D．－13－2i

(2)复数(1－i)2(2－3i)的值为(　　)

A．6－4i     B．－6－4i

C．6＋4i     D．－6＋4i

(3)设复数2＋i对应的向量为，把沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(　　)

A．－1＋2i　 B．6＋3i

C．6＋i     D．－6－3i

(1)D　(2)B　(3)B　[(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

(2)(1－i)2(2－3i)＝(－2i)(2－3i)＝－6－4i.

(3)把沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(2＋i)·3＝6＋3i.]

类型2　复数的除法

【例2】　(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是(　　)

A．M　　 B．N

C．P     D．Q

(2)设复数z＝1＋2i，则＝(　　)

A．2i     B．－2i

C．2     D．－2

(3)设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)

A．1     B．

C．     D．2

(1)D　(2)C　(3)A　[(1)由图可知z＝3＋i，所以复数＝＝＝＝2－i，表示的点是Q(2，－1).故选D.

(2)＝＝＝＝2.故选C.

(3)由＝i，得z＝＝＝＝i，

所以|z|＝|i|＝1.故选A.]

两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．(1)＝(　　)

A．1＋2i    B．1－2i

C．2＋i     D．2－i

(2)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．     B．

C．     D．

(1)D　(2)D　[(1)＝＝＝2－i.

(2)＝＝.]

类型3　复数几何意义的综合应用

【例3】　(1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)    B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)    D．(－1，＋∞)

1. 复数z＝－2＋i在复平面内对应的点在第几象限？

[提示]　因为复数z＝－2＋i在复平面内对应的点为（－2，1），它在第二象限．

2.若复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a，b应满足什么条件？

[提示]　a>0，b<0.

3.(1)→→

(2)→→

(1)D　(2)B　[(1)由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限．

(2)因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又此点在第二象限，所以解得a＜－1.]

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b).

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解法更加直观．

3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，求z及.

[解]　∵(1＋2i)z＝4＋3i，

∴z＝＝＝2－i，

∴＝2＋i，

∴＝＝＝＝－i.

1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)

A．6－4i　 B．－6－4i

C．6＋4i   D．－6＋4i

D　[(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.]

2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)

A．－2i　 B．2i

C．－2     D．2

A　[∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.]

3. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

D　[＝＝＋i，其共轭复数为－i，∴复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.]

4．计算：(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝________．

1＋i　[(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.]

5．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________．

－3　[ ∵z＝1＋i，∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何进行复数代数形式的乘除运算？

[提示]　(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2.解决复数问题的基本思想是什么？

[提示]　复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．

利用复数产生分形图

以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时

f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i.

给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值

z0，z1，z2，…，zn，….

如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称zn为f(z)的收敛点；否则，称zn为f(z)的发散点．f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．

例如，当f(z)＝z2时，如果zn＝i，则得到的一列值是

i，－1，1，1，…，1，…；

如果zn＝1＋i，则算出的一列值是

1＋i，2i，－4，…，22n－1，….

显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合).

让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．