2021学年6.1 余弦定理与正弦定理第3课时导学案及答案

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

知识点　三角形的面积公式

(1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高).

(2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．

在△ABC中，边BC，CA，AB上的高ha，hb，hc怎样用对应的边和角表示？

[提示]　在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么ha＝b sin C＝c sin B，hb＝c sin A＝a sin C，hc＝a sin B＝b sin A．

已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　)

A．18    B．9    C．18    D．9

 B　[由已知，得C＝180°－A－B＝30°，

∴A＝C，∴BC＝AB＝6，

∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×6×6×sin 120°＝9.]

类型1　三角形中的几何计算

【例1】　在△ABC中，已知AB＝，cos ∠ABC＝，AC边上的中线BD＝，求sin A的值．

[解]　如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝.

∵cos ∠ABC＝，

∴cos ∠BED＝－.

设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，

可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos ∠BED，即5＝x2＋＋2××x.

解得x＝1或x＝－(舍去)，故BC＝2.

在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝，即AC＝.

又sin ∠ABC＝＝，

∴＝，∴sin A＝.

解决此类问题的着眼点：(1)找出已知边长或角的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段或角所在的三角形，确定所需条件．

提醒：构造三角形时，要注意使构造的三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．

1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，求其中线AD的长．

[解]　在△ACD中，由余弦定理，得a2＋AD2－a×AD×cos ∠ADC＝b2，

在△ABD中，由余弦定理，得a2＋AD2－a×AD×cos ∠ADB＝c2，

两式相加得，a2＋2AD2－a×AD(cos ∠ADC＋cos ∠ADB)＝b2＋c2，

因为cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝cos ＋cos ∠ADB＝－cos ∠ADB＋cos ∠ADB＝0，

所以a2＋2AD2＝b2＋c2，

所以AD＝.

类型2　三角形的面积问题

【例2】　(教材北师版P115例9改编)在△ABC中，＝，＝，求证：S△ABC＝.

[证明]　S△ABC＝||||sin A

＝||||

＝

＝

＝

＝

＝|x1y2－x2y1|.

三角形面积计算公式

(1)S＝aha(ha为a边上的高)；

(2)S＝ab sin C＝＝2R2sin A sin B sin C(R为外接圆的半径)；

(3)S＝(a＋b＋c)r(r为内切圆的半径)；

(4)S＝(s为三角形周长的一半).

2．已知△ABC中，·<0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝(　　)

A．30°     B．120°

C．150°     D．30°或150°

C　[由S△ABC＝，得×3×5sin ∠BAC＝，

∴sin ∠BAC＝，

又由·<0，得∠BAC>90°，

∴∠BAC＝150°.]

类型3　正、余弦定理的综合应用

【例3】　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，求△ABC面积的最大值．

1．在△ABC中，如何利用正弦定理进行边角转化？

[提示]　(1)边转化为角：a＝2R sin A；(2)角转化为边：sin A＝.

2．在△ABC中，利用余弦定理解三角形时，有什么变形技巧？

[提示]　常用的变形技巧是整体代换，例如

(1)a2＋b2－c2＝2ab cos C；

(2)a2＝－2bc，此公式在已知b±c和bc的情况下，可以在不求b，c的前提下，建立a，A的关系．

[解]　由cos C＝＝，得sin C＝，

由外接圆半径R＝及sin C可得：c＝2R sin C＝4，

所以a2＋b2＝16＋ab，而a2＋b2≥2ab，

所以有16＋ab≥2ab⇒ab≤12，

所以S△ABC≤·12·＝4.

则△ABC的面积的最大值为4.

本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，在计算面积时有三组边角可供选择：S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值．要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再利用均值不等式，可以建立“平方”与“乘积”的不等关系，从而可求出ab的最值．

3．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足＋ ≥1，求角A的范围．

[解]　由＋≥1 ，

得b＋c≥，

整理得b2＋c2－a2≥bc，

所以cos A＝≥，

所以A∈.

1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　)

A．能组成直角三角形    B．能组成锐角三角形

C．能组成钝角三角形   D．不能组成三角形

B　[设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为cos θ＝＝>0，所以能组成锐角三角形．]

2．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)

A．A>B     B．A<B

C．A≥B     D．A，B的大小关系不确定

A　[设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∵sin A>sin B，

∴2R sin A>2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.]

3．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)

A．    B．    C．或    D．或

D　[＝，∴sin C＝.

∵0°<C<180°，

∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；

当C＝120°时，A＝30°，此时，S△ABC＝××1×sin 30°＝.]

4．在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则△ABC外接圆的半径R等于________．

1　[由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3，

∴b＝，

由正弦定理得，2R＝＝＝2，∴R＝1.]

5．在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则∠C＝________．

　[由S△ABC＝(a2＋b2－c2)，得ab sin C＝(a2＋b2－c2)，即sin C＝，

∴sin C＝cos C，即tan C＝1，又∠C∈(0，π)，

∴∠C＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.根据已知条件，如何正确选择解题策略解三角形？

[提示]　(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．

(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.,2.求解三角形中的几何计算问题应注意哪些方面？

[提示]　(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化；(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．