北师大版 (2019)必修 第二册2.1 向量的加法学案设计

§2　从位移的合成到向量的加减法

2．1　向量的加法

知识点　向量求和法则及运算律

1.根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)

[提示]　∵＝＋，∴＝a＋b.

∵＝＋，∴＝b＋a.

∴a＋b＝b＋a.

2.根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)

[提示]　∵＝＋＝(＋)＋，∴＝(a＋b)＋c，

又∵＝＋＝＋(＋)，

∴＝a＋(b＋c)，

∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)0＋a＝a＋0＝a；(　　)

(2)＋＝；(　　)

(3)＋＝0；(　　)

(4)在平行四边形ABCD中，＋＝；(　　)

(5)||＋||＝||.(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×

类型1　向量加法法则的应用

【例1】　(教材北师版P81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；

(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.

[解]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.

(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b.

用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．

1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.

[解]　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.

类型2　向量加法及其运算律

【例2】　化简下列各式：

(1)＋；

(2)＋＋；

(3)＋＋＋＋.

所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．

[解]　(1)＋＝＋＝.

(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0或＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0.

(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.

向量运算中化简的两种方法

(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．

(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．

2.如图，在平行四边形ABCD中

(1)＋＝________；

(2)＋＋＝________；

(3)＋＋＝________；

(4)＋＋＝________．

(1)　(2)　(3)　(4)0　[(1)由平行四边形法则知，＋＝.

(2)＋＋＝＋＝.

(3)＋＋＝＋＝.

(4)∵＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝0.]

类型3　向量加法的实际应用

【例3】　(教材北师版P81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．

速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．

[解]　作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，

在Rt△ACD中，

||＝||＝v水＝10 m/min，

||＝|v船|＝20 m/min，

∴cos α＝＝＝，

∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．

故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．

应用向量解决平面几何问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．

3．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为(　　)

A．30 N　　　B．60 N　　　C．90 N　　　D．120 N

[答案]　B

1．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)

A．＋＝     B．＋＝

C．＋＝      D．＋＝

C　[由加法的平行四边形法则可知＋＝，即(－)＋＝，所以＋＝.]

2．(多选题)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是(　　)

A．＋＋＝0

B．＋＋＝0

C．＋＋＝

D．＋＋＝

ABC　[＋＋＝＋＝0，

＋＋＝＋＋＝0，

＋＋＝＋＝＋＝，

＋＋＝＋0＝≠.故选ABC.]

3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________.

2　[|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]

4.根据图填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.

(1)a＋b＋c＝________；

(2)b＋d＋c＝________．

(1)　(2)　[(1)a＋b＋c＝＋＋＝.

(2)b＋d＋c＝＋＋＝.]

5．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则：

(1)|a＋b|＝________；

(2)向量a＋b的方向是________.

(1)8　(2)北偏东45°(或东北方向)　[(1)如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，

所以|a＋b|＝||＝＝8.

(2)因为∠AOB＝45°，

所以a＋b的方向是东北方向．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？

[提示]　(1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．

(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？

[提示]　在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.