高中北师大版 (2019)第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系课后复习题

这是一份高中北师大版 (2019)第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系课后复习题，共9页。试卷主要包含了3　直线与圆的位置关系，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
第一章直线与圆§2　圆与圆的方程2.3　直线与圆的位置关系课后篇巩固提升合格考达标练1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离答案B解析由圆的方程得到圆心坐标(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=<1,即d<r,所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心.故选B.2.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于(　　)A.或- B.-或3C.-3 D.-3或3答案C解析圆的标准方程为(x-1)2+y2=3,由题意知圆心(1,0)到直线x-y+m=0的距离等于半径,即,|+m|=2,解得m=或m=-3,故选C.3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 (　　)A.6 B.3 C.2 D.8答案A解析∵圆的标准方程为x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),即该直线过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为圆的直径6.4.(2020全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|==2,|O1B|=3,所以|AB|==1,所以|BC|=2|AB|=2.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　)A.10 B.20C.30 D.40答案B解析设圆的圆心为M,则M(3,4),半径r=5.当过点P的直线过圆心M时,对应的弦AC是最长的,此时,|AC|=2r=10;当过点P的直线与MP垂直时,对应的弦BD最小,此时在Rt△MPD中,|MD|=r=5,|MP|=1,故|BD|=2=4.此时四边形ABCD的面积为S=|AC|·|BD|=20,故选B.6.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为　　　　　　. 答案2x-y=0解析若所求直线斜率存在,设其方程为y=kx,即kx-y=0.由于直线kx-y=0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1,因此圆心到直线的距离等于=0,即圆心(1,2)在直线kx-y=0上.于是有k-2=0,即k=2,因此所求直线方程是2x-y=0.易知直线斜率不存在时不符合题意.7.已知直线l:2mx-y-8m-3=0,则直线过定点　　　　,该直线被圆C:x2+y2-6x+12y+20=0截得最短弦长为　　　　　　. 答案(4,-3)　2解析将直线l变形得2m(x-4)=y+3,即直线l恒过定点P(4,-3),圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.显然点P在圆内.当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,直线l被圆所截得的弦AB的长度最短.此时PC⊥l,又kPC==3,所以直线l的斜率为-,则2m=-,所以m=-.因为|PC|=,|AC|=5,所以|AB|=2=2.故当m=-时,直线l被圆C截得的弦长最短,最短弦长为2.8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为　　　　.答案-或 解析由题意知直线y=kx+1恒过定点(0,1),圆x2+y2=1的圆心是(0,0),半径是1,取PQ的中点为E,连接OE,则OE⊥PQ.因为∠POQ=120°,故∠POE=60°,所以|OE|=.又直线l的方程为kx-y+1=0,所以,故k=±.9.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切?(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.解圆C方程可化为x2+(y-4)2=4,此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2,解得a=-,即当a=-时,直线l与圆C相切.(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-1,故所求方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.等级考提升练10.若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个不同的公共点,那么点(b,a)与圆x2+y2=4的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.点在圆外 B.点在圆内C.点在圆上 D.不能确定答案A解析因为直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个公共点,所以有<1,即>2,因为点(b,a)与x2+y2=4的圆心的距离为,圆x2+y2=4的半径为2,所以点(b,a)在圆外.故选A.11.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=(　　)A.- B.1 C.2 D.答案C解析点P在圆上,在点P的圆的切线有斜率,设在点P(2,2)的圆的切线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,由于和圆相切,故,得k=-,由于直线kx-y+2-2k=0与直线ax-y+1=0垂直,因此-×a=-1,解得a=2,故选C.12.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为(　　)A.-3 B.-2 C.2 D.3答案C解析圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线的距离为,所以,整理,得a2-12a+5b2-9=0,又直线过P(-1,2),代入,得-a+2b-3=0,由解得所以ab=2.13.(2021山西吕梁一模)已知直线l:x+by+1=0与圆C:(x+b)2+(y+2)2=8相交于A,B两点,且△ABC是顶角为的等腰三角形,则b等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1 B.- C.-1 D.1或-答案D解析圆C:(x+b)2+(y+2)2=8的圆心为(-b,-2),半径为2,由题意△ABC是顶角为的等腰三角形可知圆心到直线l的距离为,,解得b=1或b=-.故选D.14.(多选题)(2020山东泰安一中高二期中)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)A.-1 B.- C. D.答案BC解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0),半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB||CD|的最小值为　　　　. 答案4解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).∵C,D分别为OA,AB的中点,∴|CD|=|OA|=,当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2=2,∴|AB||CD|=|AB|≥×2=4.16.(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=　　　　;b=　　　　. 答案　-解析由k>0,根据题意画出直线l:y=kx+b及两圆,如图所示.由对称性可知直线l必过点(2,0),即2k+b=0, ①并且=1, ②由①②解得k=,b=-.17.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得L=2=2=2.∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,即|m-2a|=2.∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.∵0<a≤4,∴0<≤2,∴m∈[-1,8-4].新情境创新练18.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.解(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,由题意可设直线PQ的方程为=1,即bx+4y-4b=0(b>2),∵PQ与圆A相切,∴=1,解得b=3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),则直线PQ方程为=1,即bx+ay-ab=0.因为PQ与圆A相切,所以=1,化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;因此PQ==.因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2≤,解得0<a+b≤4-2,或a+b≥4+2.因为a+b>4,所以a+b≥4+2,PQ=(a+b)-2≥2+2,当且仅当a=b=2+时取等号,所以PQ最小值为2+2,此时a=b=2+.答:当P,Q两点距离两公路的交点O都为2+(千米)时,新建公路PQ最短.