高中北师大版 (2019)1 数学建模实例第1课时练习

第一章直线与圆

§1　直线与直线的方程

1.3　直线的方程

第1课时　直线方程的点斜式、斜截式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.方程y-y0=k(x-x0)(　　)

A.可以表示任何直线

B.不能表示过原点的直线

C.不能表示与y轴垂直的直线

D.不能表示与x轴垂直的直线

答案D

解析因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,所以y-y0=k(x-x0)不能表示与x轴垂直的直线,故选D.

2.集合A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为(　　)

A.A⊆B B.B⫋A

C.B=A D.A⫋B

答案B

3.直线y-4=-(x+3)的倾斜角和所经过的一个点分别是(　　)

A.30°,(-3,4) 

B.120°,(-3,4)

C.150°,(3,-4) 

D.120°,(3,-4)

答案B

解析斜率k=-,过定点(-3,4).

4.已知直线的方程是y+7=-x-3,则(　　)

A.直线经过点(-3,7),斜率为-1

B.直线经过点(7,-1),斜率为-1

C.直线经过点(-3,-7),斜率为-1

D.直线经过点(-7,-3),斜率为1

答案C

5.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=　　　　. 

答案4

解析经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),得2(a-3)=7-5,解得a=4.

6.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线斜截式方程是　　　　　　　. 

答案y=-x+2

解析∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0).∴其方程为y-0=-(x-2),即y=-x+2.

7.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为　　　　. 

答案x=3

解析∵直线y=x+1的倾斜角是45°,直线l的倾斜角是直线y=x+1的两倍,

∴直线l的倾斜角是90°,∵直线l过点P(3,3),∴直线l的方程是x=3,故答案为x=3.

8.根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线,并写出倾斜角α:

(1)P(1,2),k=1;

(2)P(-1,3),k=0;

(3)P(0,-2),k=-;

(4)P(1,2),斜率不存在.

解(1)倾斜角为45°;

(2)倾斜角为0;

(3)倾斜角为150°;

(4)倾斜角为90°.

等级考提升练

9.直线y=ax-的图象可能是(　　)

答案B

解析显然不可能是C.当a>0时,直线的斜率为正,纵截距为负,排除A;当a<0时,斜率为负,纵截距为正,D不符合,只有B符合题意.故选B.

10.已知直线l的方程为y+1=2x+,若设l的斜率为a,在y轴上的截距为b,则logab的值为(　　)

A. B.2

C.log26 D.0

答案B

解析∵直线l的方程为y+1=2x+,∴直线l的斜率为2,在y轴上的截距为4,即a=2,b=4,∴logab=log24=2,故选B.

11.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为 (　　)

A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)

C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)

答案D

解析由对称性可得B(2,0),∴kAB==-3,∴直线AB的方程为y-3=-3(x-1).

12.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　)

答案D

解析对于A,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0.故选D.

13.(多选题)下列四个结论,其中正确的为(　　)

A.方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一条直线

B.直线l过点P(x1,y1),倾斜角为,则其方程为x=x1

C.直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程为y=y1

D.所有直线都有点斜式和斜截式方程

答案BC

解析对于A,方程k=,表示的直线不过点(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直线过点(-1,2),故这两个方程表示不同的直线,A错误;对于B,直线l过点P(x1,y1),倾斜角为,则其斜率不存在,直线垂直于x轴,B正确;

对于C,因为斜率为0,故方程为y=y1,显然正确;对于D,所有直线都有点斜式和斜截式方程,是不对的,比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程.故D错误.BC正确,故选BC.

14.直线y+2=-(x+1)的倾斜角为　　　　,其在y轴上的截距为　　　　. 

答案120°　-2-

解析∵直线y+2=-(x+1)的斜截式方程为y=-x-2-,

∴直线的斜率为-,倾斜角为120°,在y轴上的截距为-2-.

15.在x轴上的截距为-2,倾斜角的正弦值为的直线的方程为　　　　　　. 

答案y=±(x+2)

解析设直线的倾斜角为θ,则sinθ=,

因为θ∈[0,π),所以tanθ=±,故k=±,所求的直线方程为y=±(x+2).

16.已知Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),顶点C在x轴上.

(1)求点C的坐标;

(2)求△ABC的斜边上的中线的方程.

解(1)由顶点C在x轴上,

设C(m,0),∵Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),∴=(4,-2),=(m-1,2).

由=0,得4(m-1)-2×2=0,解得m=2,故C(2,0).

(2)斜边AC的中点为M-,0,BM的斜率为=-,故BM的方程为y-0=-x+,

即y=-x-.

新情境创新练

17.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(单位:分)与水量y(单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.

解当0<x<10时,直线段过点O(0,0)和A(10,20).

所以kOA==2,此时方程为y=2x.

当10≤x≤40时,直线段过点A(10,20)和B(40,30),所以kAB=.此时方程为y-20=(x-10),即y=x+.

当x>40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v1,放水速度为v2,当0≤x≤10时,是只进水过程,所以v1=2,当10<x≤40时,是既进水又放水,所以此时速度为v1+v2=,

即2+v2=,所以v2=-.

所以当x>40时,k=-,又直线过点B(40,30).此时直线方程为y-30=-(x-40),即y=-x+.当y=0时,x==58.此时,直线过点C(58,0),即第58分钟时水放完.

综上所述可知,y=