高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 分类加法计数原理课时训练

第五章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2020山西朔州一模)若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数n的值为(　　)

A.7 B.6 

C.5 D.4

答案C

解析∵的二项展开式中二项式系数和为2n,

∴2n=32,∴n=5.

2.(2020北京朝阳期末)一般地,一个程序模块由许多子模块组成,一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块,则该程序模块的不同的执行路径的条数是(　　)

A.6 B.14 

C.49 D.84

答案C

解析根据分类分步计数原理可得(2+2+3)×(4+3)=49(种).

3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有(　　)

A.36个 B.42个 C.30个 D.35个

答案A

解析由题意知,b只能从1,2,3,4,5,6中选一个数字,有6种选法,a从剩余的6个数字中选一个数字,共6种选法,故满足题意的虚数有6×6=36(个).

4.的展开式中的常数项为(　　)

A.-6 B.-2 C.2 D.6

答案A

解析的展开式的通项Tk+1=(-1)k·()3-kx3-3k,令3-3k=0,得k=1,故展开式中的常数项为-6.

5.(2020四川绵阳期末)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a3+a5=(　　)

A.61 B.121 C.122 D.224

答案C

解析∵(1+2x)5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5,

∴令x=1,得(1+2×1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243;

令x=-1,得[1+2×(-1)]5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.

∴a1+a3+a5=×(243+1)=122.

6.(2020河北衡水模拟)(x2+x+1)的展开式中的常数项为(　　)

A.40 B.-80 C.120 D.140

答案B

解析∵的展开式的通项为Tk+1=·(-2)k·x5-2k,

∴(x2+x+1)的展开式中的常数项为-80.

7.(2020山东聊城二模)2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”(“两不愁”即不愁吃、不愁穿,“三保障”即义务教育、基本医疗、住房安全有保障),某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三个县进行帮扶,则不同的派出方法种数为(　　)

A.15 B.60 C.90 D.540

答案C

解析先把6个人平均分成3组,有=15种方法,再把这3组分派到甲、乙、丙三个县,有种方法,则有15=90种方法.

8.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,现将杨辉三角中的数换为正整数,形成三角数表,并按如图规律排列(例如9为第4行第3列,12为第5行第4列),则2 019为(　　)

A.第63行第5列 

B.第63行第3列

C.第64行第6列 

D.第64行第3列

答案D

解析由题意及图形知,

第n行有n个数(n∈N+),

奇数行的数字从左向右递减,偶数行的数字从左向右递增,

∴在该图中,前n(n∈N+)行共有个数.

∵=2016<2019,

=2080>2019,

∴在前63行,共有2016个数,此时2019位于第64行.

∵偶数行的数字从左向右递增,∴第2019为第64行第3列.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列等式正确的是(　　)

A.

B.

C.=25

D.

答案ABD

解析由组合数的运算性质知:=25,故C不正确,而A,B,D正确.

10.下列关于(a-b)10的说法,正确的是(　　)

A.展开式中的二项式系数之和是1 024

B.展开式的第6项的二项式系数最大

C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

答案ABD

解析由二项式系数的性质知+…+=210=1024,故A正确;二项式系数最大的项为,是展开式的第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项为Tk+1=a10-k(-b)k=(-1)ka10-kbk知,第6项的系数为-最小,故D正确.

11.(2020江苏连云港期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是(　　)

A.某学生从中选3门,共有30种选法

B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法

C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法

D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法

答案CD

解析根据题意,依次分析选项:

对于A,某学生从中选3门,6门中选3门共有=20(种),故A错误;

对于B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排“射”“御”,共有=480种排法,故B错误;

对于C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,由捆绑法分析,将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有=144种排法,故C正确;

对于D,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,分2种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有种排法,若课程“乐”不排在最后一周,有种排法,则共有=504种排法,故D正确.

12.某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力,利用周末进社区义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加并不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说法正确的是(　　)

A.若1班不再分配名额,则共有种分配方法

B.若1班有除劳动模范之外学生参加,则共有种分配方法

C.若每个班至少3人参加,则共有90种分配方法

D.若每个班至少3人参加,则共有126种分配方法

答案BD

解析对于A,若1班不再分配名额,则20个名额分配到5个班级,每个班级至少1个,根据插空法,有种分配方法,故A错误;

对于B,若1班有除劳动模范之外学生参加,则20个名额分配到6个班级,每个班极至少1个,根据插空法,有种分配方法,故B正确;

对于CD,若每个班至少3人参加,相当于16个名额被占用,还有4个名额需要分到6个班级,分5类:①4个名额到一个班,有6种;②一个班3个名额,一个班1个名额,有=30(种);③两个班都是2个名额,有=15(种);④两个班1个名额,一个班2个名额,有=60(种);⑤四个班都是1个名额,有=15(种),则共有126种,故C错误,D正确.故选BD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若6,则正整数n=　　　　　. 

答案5

解析若6,则6×=n(n-1)(n-2),求得n=5.

14.(2020江苏泰州期末)在某市举办的中学生运动会上,将4名同学全部分配到田径、游泳和球类3个不同比赛项目做志愿者,共有　　　　　种不同分配方法;若每个项目至少需要1名志愿者,则不同的分配方法有　　　　　种(用数字作答). 

答案81　36

解析对于第一空:每个学生都可以被分配到运动会的田径、游泳和球类3个不同比赛项目中的一个,

有3种分配方法,

则4名同学有3×3×3×3=81种分配方法;

对于第二空:分2步进行分析:

①先将4名同学分成3组,有=6种分组方法,

②将分好的三组全排列,安排到3个不同比赛项目,有=6种情况,

则有6×6=36种不同的分配方法.

15.(2020福建三明二模)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为20,则a=　　　　　. 

答案2

解析∵已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+x+x2+x3+x4+x5),

展开式中x2的系数为+a=20,求得a=2.

16.元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有　　　　　种不同取法.(用数字作答) 

答案90

解析因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串两个灯取下的顺序确定,问题转化为求六个元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列数,先将六个元素全排列共有种排法,因为甲乙顺序确定,丙丁顺序确定,戊己顺序确定,所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为=90,即取下6盏不同的花灯,每次取1盏,共有90种不同取法.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血共有28人,A型血共有7人,B型血共有9人,AB型血共有3人.

(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?

(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?

解从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事件都能完成,所以由分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.

(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事件才完成,所以用分步乘法计数原理,共有28×7×9×3=5292种不同的选法.

18.(12分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.

(1)试用组合数表示这个一般规律;

(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;

(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.

解(1).

(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.

(3)设=3∶4∶5,

由,得,

即3n-7r+3=0.①

由,得,

即4n-9r-5=0.②

解①②联立方程组,得n=62,r=27,

即=3∶4∶5.

19.(12分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且a2=60,求:

(1)n的值;

(2)-+…+(-1)n的值.

解(1)因为T3=(-2x)2=a2x2,

所以a2=(-2)2=60,

化简可得n(n-1)=30,且n∈N+,

解得n=6.

(2)Tk+1=(-2x)k=akxk,

所以ak=(-2)k,

所以(-1)k,

-+…+(-1)n

=+…+=26-1=63.

20.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下,有多少种不同的站法.

(1)女生不站在两端;

(2)女生相邻;

(3)女生不相邻;

(4)站成两排,前排3人,后排4人.

解(1)先考虑两端站的人,再考虑其他位置,满足条件的站法有=2400(种).

(2)将相邻对象捆绑,当作一个对象,与其他对象一起全排列,可得满足条件的站法有=1440(种).

(3)分两步:

第一步,先排男生,有种站法;

第二步,将2名女生插入男生所形成的6个空(包括两端)中,有种站法.

由分步乘法计数原理知,满足条件的站法有=3600(种).

(4)无论分成多少排,实质都是要在7个不同位置上排7个不同对象,因此满足条件的站法共有=5040(种).

21.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.

(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;

(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;

(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

解(1)将所有的三位偶数分为两类:①若个位数为0,则共有=12个;②若个位数为2或4,则共有2×3×3=18个.所以,共有30个符合题意的三位偶数.

(2)将这些“凹数”分为三类:①若十位数字为0,则共有=12个;②若十位数字为1,则共有=6个;③若十位数字为2,则共有=2个.所以,共有20个符合题意的“凹数”.

(3)将符合题意的五位数分为三类:①若两个奇数数字在百位和万位,则共有=12个;②若两个奇数数字在十位和千位,则共有=8个;③若两个奇数数字在个位和百位,则共有=8个.

所以,共有28个符合题意的五位数.

22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.

(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;

(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01)

解(1)根据题意得=7,

即m+n=7,①

f(x)中的x2的系数为.

将①变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=,

故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.

当m=3,n=4时,x3的系数为=5;

当m=4,n=3时,x3的系数为=5.

(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3

≈×0.003+×0.003≈2.02.