高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试同步训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何本章综合与测试同步训练题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.α⊥β B.α∥β
C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对
答案B
解析∵n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),
∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.
2.

如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为(　　)
A.12a+12b+12c
B.12a-12b+12c
C.-12a+12b+12c
D.-12a+12b-12c
答案C
解析如图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),所以MN=ON-12OA=-12a+12b+12c.

3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为(　　)
A.a2 B.14a2 C.12a2 D.34a2
答案B
解析在正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,∴AE=AB+BE,AF=12AD.
则AE·AF=(AB+BE)·12AD=12AB·AD+12BE·AD.
因为是正四面体,所以BE⊥AD,∠BAD=π3,
即BE·AD=0,AB·AD=|AB||AD|cosπ3=a22,
所以AE·AF=a24,故选B.
4.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案C
解析设向量a+b与c的夹角为α,
因为a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14,
cosα=(a+b)·c|a+b||c|=12,所以α=60°.
因为向量a+b与a的方向相反,
所以a与c的夹角为120°.
5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　)
A.45 B.35 C.34 D.55
答案A
解析取AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),
∴AD=(0,1,2),CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2).
设n=(x,y,z)为平面B1CD的一个法向量,
由n·CD=0,n·CB1=0,得-y+2z=0,3x-y+2z=0,
故x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).
设直线AD与平面B1DC所成角为α,
则sinα=|cos|=|AD·n||AD||n|=45×5=45,
所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.

6.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为(　　)
A.32 B.12 C.15 D.265
答案B
解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得n1·DE=6a+3b=0,n1·DA1=6a+6c=0,
令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1).
同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),
由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|=12.
7.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为(　　)
A.12,34,13 B.12,32,34
C.43,43,83 D.43,43,73
答案C
解析∵Q在直线OP上,∴可设Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x),QB=(2-x,1-x,2-2x).
∴QA·QB=6x2-16x+10,
∴当x=43时,QA·QB最小,这时Q43,43,83.
8.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C到平面PAB的距离是(　　)
A.3427 B.4427
C.5427 D.6427
答案B
解析∵在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,
∴以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,

则C(0,4,0),P(0,4,46),A(0,0,0),B(4,0,0),AC=(0,4,0),AB=(4,0,0),AP=(0,4,46),
设平面PAB的法向量n=(x,y,z),
则n·AP=4y+46z=0,n·AB=4x=0,
取z=1,得n=(0,-6,1),
∴点C到平面PAB的距离d=|AC·n||n|=467=4427.故选B.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.空间四个点O,A,B,C,OA,OB,OC为空间的一个基底,则下列说法正确的是(　　)
A.O,A,B,C四点不共线
B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点中任意三点不共线
D.O,A,B,C四点不共面
答案ACD
解析若O,A,B,C四点共面,则OA,OB,OC共面,不可能为空间的一个基底.故AD正确,B不正确;若O,A,B,C中有三点共线,则四点一定共面,故C也正确.
10.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b夹角为钝角,则x的取值可以是(　　)
A.-2 B.1 C.53 D.2
答案BD
解析因为a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),
所以a·b=-1×3-2(x-1)-3=-2x-4.
因为a与b夹角为钝角,
所以cos=a·b|a||b|