高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 分类加法计数原理课后复习题

第五章计数原理

§1　基本计数原理

1.1　计数原理

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.某班有男生26人,女生24人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数有(　　)

A.50种 B.26种

C.24种 D.616种

答案A

解析根据分类加法计数原理,因数学课代表可为男生,也可为女生,因此共有26+24=50种选法.

2.已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则xy可表示不同的值的个数为(　　)

A.8 B.12 C.10 D.9

答案D

解析分两步:

第一步,在集合{2,3,7}中任取一个值,有3种不同的取法;

第二步,在集合{-3,-4,8}中任取一个值,有3种不同取法.

故xy可表示3×3=9个不同的值.

3.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　)

A.27种 B.36种 C.54种 D.81种

答案C

解析小张的报名方法有2种,其他3位同学各有3种,所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3=54种不同的报名方法.

4.张华去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方法共有　　　　　种. 

答案7

解析购买方法可分3类:买1本书、买2本书、买3本书,各类的购买方法依次有3种、3种和1种,故购买方法共有3+3+1=7(种).

5.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为(　　)

A.8 B.6 C.5 D.3

答案B

解析从A处到B处的电路接通可分两步,第一步:前一个并联电路接通有2条线路,第二步:后一个并联电路接通有3条线路;由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为3×2=6,故选B.

6.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有(　　)

A.60种 B.40种 C.20种 D.10种

答案C

解析设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×2=20种情况.

7.小张正在玩“开心农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有　　　　　种. 

答案48

解析当第一块地种茄子时,有4×3×2=24种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有4×3×2=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案.

8.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m,在B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:

(1)有多少个不同的数对?

(2)其中m>n的数对有多少个?

解(1)从集合A中先选出m有5种方法,从集合B中再选出n有5种方法,根据分步乘法计数原理知共有5×5=25个不同的数对.

(2)在(1)中的25个数对中,m>n的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1种结果;当m=4时,n=1,3,有2种结果;当m=6时,n=1,3,5,有3种结果;当m=8时,n=1,3,5,7,有4种结果;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5种结果.

综上所述,共有1+2+3+4+5=15个满足条件的数对.

等级考提升练

9.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方法种数是(　　)

A.24 B.36 

C.42 D.60

答案D

解析每个比赛项目选择场馆都有4种方法,于是总的方法共有4×4×4=64(种),在同一个体育馆比赛的项目超过两项即三项的安排方法有4种,于是在同一个体育馆比赛的项目不超过两项的安排方法共有64-4=60(种).

10.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法种数是(　　)

A.6 B.12 C.18 D.24

答案A

解析因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填后与之相邻的空格可填6,7,8中任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法,共有2×3=6种方法,故选A.

11.植树节那天,4位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有(　　)

A.1×2×3种 B.1×3种

C.34种 D.43种

答案D

解析完成这件事分三步:

第一步,植第一棵树,有4种不同的方法;

第二步,植第二棵树,有4种不同的方法;

第三步,植第三棵树,有4种不同的方法.

由分步乘法计数原理知有4×4×4=43种植树方法,故选D.

12.(2020山西大同模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有(　　)

A.30种 B.50种 C.60种 D.90种

答案B

解析①甲同学选择牛,乙有2种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1×2×10=20种;

②甲同学选择马,乙有3种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1×3×10=30种,

所以总共有20+30=50种选择方法.

故选B.

13.(多选题)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},则方程=1可表示不同的椭圆的个数用式子表示为(　　)

A.3+3+3 B.3+3+2

C.3×3-1 D.3×3

答案BC

解析第一步:a有3种不同的选取方法;

第二步:b有3种不同的选取方法,但a取4时,b不能取4,故有3×3-1=8种方法.

14.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则

(1)5位回文数有　　　　　个; 

(2)2n(n∈N+)位回文数有　　　　　个. 

答案(1)900　(2)9×10n-1

解析(1)5位回文数相当于填5个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,第2位和第4位一样,有10种填法,中间一位有10种填法,共有9×10×10=900种填法,即5位回文数有900个.

(2)根据回文数的定义,结合分步乘法计数原理,知有9×10n-1个回文数.

15.

如图所示的电路,若合上两只开关以接通从A到B的电路,则有　　　　　种不同的接通电路的方法. 

答案13

解析由A到B的通电线路接通方法可分为三类:第一类,上路接通,有2×1=2种方法;第二类,中路接通,有1×7=7种方法;第三类,下路接通,有2×2=4种方法.根据分类加法计数原理,共有2+7+4=13种不同的方法.

16.设椭圆的方程为=1(a>b>0),a∈{1,2,3,4,5,6,7},b∈{1,2,3,4,5},则这样的椭圆共有多少个?

解依题意按a,b的取值分为6类,

第一类:a=2,b=1;

第二类:a=3,b=1,2;

第三类:a=4,b=1,2,3;

第四类:a=5,b=1,2,3,4;

第五类:a=6,b=1,2,3,4,5;

第六类:a=7,b=1,2,3,4,5.

由分类加法计数原理知,

这样的椭圆共有1+2+3+4+5+5=20(个).

新情境创新练

17.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?(用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序)

解完成这件事有三类方法.

第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;

第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;

第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.

由分类加法计数原理知,6个广告不同的播放方式有36+36+36=108(种).