高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识课后复习题

课后素养落实(四十一)　空间图形基本位置关系的认识刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

D　[A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确．]

2.如图所示，用符号语言可表示为(　　)

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A

C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

A　[α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A.]

3．给出以下四个命题，其中正确命题的个数是(　　)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0    B．1    C．2    D．3

B　[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]

4．下列图形中不一定是平面图形的是(　　)

A．三角形     B．菱形

C．梯形     D．四边相等的四边形

D　[四边相等的四边形可能四边不共面．]

5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)

A　　　B　　　C　　　　D

D　[在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.]

二、填空题

6．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．

1或4　[其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．]

7. 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是________．

平行或相交　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，C1D1⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．]

8. 给出以下命题：①和同一条直线相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．

0　[命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱．命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上．命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内．所以正确命题的个数为0.]

三、解答题

9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证O，C，D三点共线．

[证明]　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，

∴O，C，D三点共线．

10.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．

[证明]　因为γ∩α＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.

因为直线a和b不平行，所以a，b必相交．

设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.

因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.

又因为α∩β＝c，所以P∈c，即交线c过点P.

所以a，b，c三条直线必过同一点．

11. 一条直线和直线外的三点所确定的平面有(　　)

A．1个或3个     B．1个或4个

C．1个，3个或4个     D．1个，2个或4个

C　[若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点和已知直线共面时可确定3个平面；若三点中没有两点与直线共面时，这样最多确定4个平面．]

12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)

A．三角形     B．四边形

C．五边形     D．六边形

C　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C.]

13．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．

(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．

(1)4　(2)7　[(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．

(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．]

14．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．

36　[正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．]

15．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．

[证明]　(1)无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，

∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，

∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，

∴NQ⊂α，即b⊂α，同理c⊂α，∴a，b，c，d共面．

(2)有三线共点的情况，如图所示，

设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且K∉a，

∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β.

∵N∈a，a⊂β，∴N∈β，∴NK⊂β，

即b⊂β，同理c⊂β，d⊂β，∴a，b，c，d共面，

由(1)(2)可知a，b，c，d共面．