2020-2021学年第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直第2课时课时作业

课后素养落实(四十八)　直线与平面垂直的判定

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在正方体ABCDs­A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　)

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D

D．异面直线AD与CB1所成的角为45°

C　[由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．]

2．下列四个命题中，正确的是(　　)

①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；

②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；

④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．

A．①②    B．②③    C．②④    D．③④

D　[①②不正确．]

3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)

A．垂直且相交     B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交     D．不垂直也不相交

C　[如图，取BD中点O，连接AO，CO，

则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，

∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，

又BD，AC异面，∴选C.]

4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面

B．平行

C．垂直

D．不确定

C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]

5.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　)

①BC⊥平面PAB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.

A.0个     B．1个

C.2个     D．3个

D　[∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

故BC⊥平面PAB，① 正确；

∵BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，

又PA＝AB，D为PB的中点，故AD⊥PB，又BC∩PB＝B，故AD⊥平面PBC，

∵PC⊂平面PBC，故AD⊥PC，②③正确；

若PB⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，故PB⊥CD，D为PB的中点，故CB＝CP，

又PC>AC>BC，故CB＝CP不成立，故④错误；故选D.]

二、填空题

6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是________．

平面A1DB1　[∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.]

7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．

菱形　[如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．]

8. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________．

90°　[∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.]

三、解答题

9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.

[证明]　∵ABCD为正方形，

∴AC⊥BO.

又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，

又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.

10．如图，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．

[解]　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．

因此，AB＝AC.

如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，

则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.

在Rt△ADC中，AD＝＝a，

则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.

又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.

因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．

在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，

所以∠ASD＝45°，

即直线AS与平面SBC所成的角为45°.

11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A.AG⊥△EFH所在平面

B．AH⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面

D．HG⊥△AEF所在平面

B　[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.]

12.如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)

A．45°     B．60°

C．30°     D．75°

A　[如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，

∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，

∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角．

设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，

∴sin ∠AB1D＝＝，

∴∠AB1D＝45°.故选A.]

13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)

A1C1⊥B1C1　[如图所示，连接B1C.由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.因此，要得AB1⊥BC1，则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要满足A1C1⊥B1C1即可．]

14.如图，四棱锥S­ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．

①AC⊥SB；

②AB∥平面SCD；

③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；

④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．

4　[∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，

∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，

∴AC⊥平面SBD，而SB⊂平面SBD，

∴AC⊥SB，故①正确．

∵AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，

∴AB∥平面SCD，故②正确．

∵SD⊥平面ABCD，

∴SA在底面上的射影为AD，

∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确．

∵AB∥CD，故④也正确．]

15.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？

[解]　∵PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，∴PA⊥QD.

若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，又PA∩AQ＝A，

则有QD⊥平面PAQ，又PQ⊂平面PAQ，从而QD⊥PQ.

在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，

故不存在点Q，使AQ⊥DQ.

∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.