高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课后练习题

课后素养落实(三十八)　构成空间几何体的基本元素简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1. 下面多面体中，是棱柱的有(　　)

A.1个    B．2个    C．3个    D．4个

D　[根据棱柱的定义进行判定知，这4个图形都满足．]

2. 有两个面平行的多面体不可能是(　　)

A．棱柱    B．棱锥    C．棱台    D．以上都错

B　[由棱锥的结构特征可得．]

3. 如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)

A.①③    B．②④    C．③④    D．①②

C　[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．故选C.]

4.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)

A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4

B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3

C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4

D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1

C　[根据棱台是由棱锥截成的，可知棱台上底面与下底面的对应边成比例进行判断．选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.]

5．下列命题中正确的个数是(　　)

①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；

②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；

③仅有一组对面平行的五面体是棱台；

④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．

A.0个    B．1个    C．2个    D．3个

A　[①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个面是多边形，其余各面是具有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以选A.]

二、填空题

6．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).

①　　 　　②　　　　③

④　 　　　⑤　　　　⑥

①③④　⑥　⑤　[结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]

7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．

5　6　9　[面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．]

8．对棱柱而言，下列说法正确的是________．(填序号)

①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫作侧棱．

①③　[①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．]

三、解答题

9.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

(1)折起后形成的几何体是什么？

(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

(3)每个面的三角形面积为多少？

[解]　(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．

(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．

(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，

S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.

10.如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1．

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

[解]　(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．

(2)是棱柱，截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M­CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1­DCND1.

11.如果一个四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，其中四条侧棱称为它的腰，以下说法中，错误的是(　　)

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥都是正四棱锥

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

B　[如图所示，因为等腰四棱锥的侧棱均相等，所以侧棱在底面的投影也相等，由全等三角形可知腰与底面所成的角相等，即选项A正确．易知底面四边形必有一个外接圆，即选项C正确．在高线上定能找到一点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，所以选项D正确．]

12.(多选题)如图，往透明塑料制成的长方体ABCD­A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法，其中，正确的说法是(　　)

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．

A．①②     B．①    C．①②③    D．③

BD　[显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE­DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以三个命题中①③正确．故选BD.]

13．下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

①②　[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]

14．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．

 　[设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则

∴abc＝24.分别除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.

∴体对角线长为＝.]

15.如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

[解]　将三棱锥沿侧棱VA展开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．

∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.

又VA＝VA1＝4，

∴AA1＝4.

∴△AEF周长的最小值为4.