高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面与平面平行第1课时当堂检测题

课后素养落实(四十五)　平面和平面平行的性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)

A．l∥β　　　　 B．l⊂β

C．l∥β或l⊂β     D．l，β相交

C　[直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内．]

2.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)

A．相似但不全等的三角形

B．全等三角形

C．面积相等的不全等三角形

D．以上结论都不对

B　[由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，

则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.

同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.]

3．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线b，a∥b且b⊂α

B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α

C．存在一个平面β，a⊂β且α∥β

D．存在一个平面β，a∥β且α∥β

C　[在A，B，D中，均有可能a⊂α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故选C.]

4．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)

A．两两相互平行

B．两两相交于同一点

C．两两相交但不一定交于同一点

D．两两相互平行或交于同一点

A　[可以想象四棱柱．由面面平行的性质定理可得．]

5.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)

A．2∶25     B．4∶25

C．2∶5     D．4∶5

B　[∵面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，

∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，

∴S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.]

二、填空题

6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

平行四边形　[由夹在两平行平面间的平行线段相等可知，四边形ABCD的形状一定是平行四边形．]

7.已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝________．

15　[由题可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15.]

8.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________．

　[∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，

又∵E为BB1的中点，

∴M，N分别为BA，BC的中点，

∴MN＝AC，即＝.]

三、解答题

9．已知平面α∥平面β，直线l∥平面β，且点A∈α，A∈l，求证：l⊂α.

[证明]　假设l⊄α，则l∩α＝A，

过直线l作平面γ与平面α交于直线m，与平面β交于直线n，

因为平面α∥平面β，直线l∥平面β，

所以m∥n，l∥n，

所以m∥l，这与m∩l＝A矛盾，

故假设不成立，

所以l⊂α.

10.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

[解]　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以＝，

即＝，所以SC＝17.

11．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C(　　)

A．不共面

B．不论点A，B如何移动，都共面

C．当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面

D．当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

B　[由平面与平面平行的性质知，不论A，B如何移动，动点C均在过C且与平面α，β都平行的平面上．]

12．已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)

A．l⊂α，m⊂β，α∥β B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m

C．l∥α，m⊂α     D．l⊂α，α∩β＝m

B　[选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交．故选B.]

13.在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F 分别为棱AB和棱AA1的中点，点M、N分别为线段D1E、C1F 上的点，则与平面ABCD平行的直线MN有________条．

无数　[因为直线D1E，C1F 与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D1E的交点为M，与线段C1F 的交点为N，由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD，故有无数条直线MN∥平面ABCD.]

14．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：

①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交．其中可能出现的情形有________种

3　[因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，

所以直线a与直线b无公共点．

当直线a与直线b共面时，a∥b；

当直线a与直线b异面时，

a与b所成的角大小可以是90°.

综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形．]

15.空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.

(1)求AH∶HD；

(2)求证：EH，FG，BD三线共点．

[解]　(1)∵＝＝2，∴EF∥AC，

又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.

∵EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.

又EF∥AC，∴AC∥GH.

∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1.

(2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝，

∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．

设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴EH，FG，BD三线共点．