人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第八章  立体几何初步一、单选题1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）A．（1）是棱台 B．（2）是圆台C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱【答案】C【解析】对于（1），由于几何体上下底面不相似，所以不是棱台，A选项错误.对于（2），由于几何体上下底面不平行，所以不是圆台，B选项错误.对于（3），几何体是棱锥，所以C选项正确.对于（4），几何体有两个平面平行且全等，侧面都是平行四边形，故是棱柱，所以D选项错误.故选：C.2．若为两条异面直线外的任意一点，则（ ）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面【答案】B【解析】因为若点是两条异面直线外的任意一点，则过点有且仅有一条直线与都垂直，选B3．如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（   ）A． B．平面C．平面 D．平面 【答案】D【解析】连接交于，由于四边形是平行四边形，对角线平分，故是的中点.因为是的中点，所以是三角形的中位线，故，所以平面.故选D.4．一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆柱底面半径为为r，，则圆柱的高为，其侧面积，根据二次函数性质，当时，侧面积取得最大值.故选：C5．如图，三棱锥中，，，M，N分别为，的中点，则异面直线与所成角余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中点,连接,又因为为中点,故,故与所成角即为与所成的角.由题得,又为的中点, ,,所以,.故,又.又,故 所以异面直线与所成角余弦值为.故选：B.6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为A． B． C． D．【答案】C【解析】四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．∴．故选C．7．三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．此时，，在直角△中，．三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥的外接球的表面积为．选B.8．在三棱锥中，底面ABC，，E，F分别为棱PB，PC的中点，过E，F的平面分别与棱AB，AC相交于点D，G，给出以下四个结论：①；②；③；④.则以上正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为E，F分别为棱PB，PC的中点，所以，可得平面ABC，平面EFGD与平面ABC的交线为DG，所以，故①正确；当截面EFGD与棱AB的交点D是AB的中点时，，否则PA与ED相交，故②错误；由底面ABC，可得，由可得，又，所以，所以平面PAB，所以，故③正确；只有当截面EFGD与AC的交点G是AC的中点时，，此时可得，否则AC与FG不垂直，故④错误.所以正确结论的个数是2.故选：．二、多选题9．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．A．， B．，，C．， D．，，【答案】ABC【解析】由面面垂直定理可以判断正确，对于选项，，，，也可以得到，故错.故选：.10．在正四面体中，､､分别是､､的中点，下面四个结论中正确的是（    ）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABD【解析】A．､分别是､的中点，，则平面，故A正确．B．､､分别是､､的中点，，，即平面，，平面，故B正确．D．､､分别是､､的中点，，，即平面，面，平面平面，故D正确，只有C错误，故选：ABD．11．在三棱锥D-ABC中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（    ）A． B．平面ABDC．三棱锥A-CMN的体积的最大值为 D．AD与BC一定不垂直【答案】ABD【解析】根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取中点，连接：对于A，因为，且，，所以为等腰直角三角形，则且，则平面，所以，即A正确；对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，由中位线定理可得，而平面，平面，所以平面，即B正确；对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，则最大值为，即C错误；对于D，假设，由,且,所以平面，则，又因为，且，所以平面，由平面，则，由题意可知，因而不能成立，因而假设错误，所以D正确；综上可知，正确的为ABD，故选：ABD.12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在Rt△D1C1B中,,故D正确故选：ABD三、填空题13．如图，点在正方形所在的平面外，，则与所成角的度数为____________.【答案】【解析】构造正方体，如图所示：显然为等边三角形，则，即PA与BD所成的角是.14．如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面.在四面体中，下列说法正确的序号是____________.①平面平面，②平面平面，③平面平面，④平面平面【答案】②【解析】∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=BC=1，∠A＝90°，在中，BD=，BC=2， ，由余弦定理得 ，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又由AD⊥AB， ∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故填②．15．如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是，不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=，sin∠C1OA1=，∴的取值范围是.16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为____________.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案为：四、解答题17．图（1）为一个几何体的表面展开图.（1）沿图中虚线将它折叠起来，是哪一种几何体？画出其空间图形.（2）需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？若图（2）是棱长为6的正方体，试在图中画出这几个几何体的一种组合情况.【答案】（1）这个几何体是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱推，作图见解析（2）需要3个这样的几何体，作图见解析【解析】（1）这个几何体是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱推，如图（3）.    （2）需要3个这样的几何体.如图（4），分别为四棱锥，，（答案不唯一）18．如图，四棱锥，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E为PB中点.（1）求证：平面PCD；（2）求证：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】如图，取的中点，连接， E为PB中点，，且，又，，，,为平行四边形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因为，，所以，，平面，又平面，.19．如图所示，已知平面，，分别是，的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，，求直线与平面所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）因为,分别是,的中点,所以.又平面且平面,所以平面.（2）因为平面,平面,所以.又且,所以平面.又平面,所以平面平面.（3）因为平面,所以为直线与平面所成的角.在直角中,,,所以.所以.故直线与平面所成的角为.20．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析        （2） 到平面的距离为【解析】(1）设BD交AC于点O，连结EO． 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB    又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC． （2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以21．如图，在四棱锥中，底面，， ，，，点为棱的中点. （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（1）如图，取中点，连接.由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（2）连接，由（Ⅰ）有平面，得，而，故.又因为，为的中点，故，从而，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，所以直线与平面所成的角的正切值为22．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点在面内的射影为，，点到平面的距离为，且直线与垂直．（Ⅰ）在棱上找一点，使直线与平面平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）点为中点时直线与平面平行，证明详见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）点为中点时直线与平面平行，证明：连接，交于点，则点为的中点，因为点为中点，故为的中位线，则，平面，平面，所以与平面平行．（Ⅱ）根据题意，底面，底面，则有，，所以平面，由（Ⅰ）可知，又，所以，平面，平面，所以，取中点，连接，由于是中点，则，，∴为二面角的平面角，其为钝角，那么，所成的角即为二面角的补角，等腰直角中，，因此二面角的大小为．