数学北师大版 (2019)1.2 复数的几何意义课时训练

课后素养落实(三十四)　复数的几何意义

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面上对应的点位于(　　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

A　[复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数为＝(3m－2)－(m－1)i＝(3m－2)＋(1－m)i，∵＜m＜1，∴3m－2＞0，1－m＞0，∴点(3m－2，1－m)在第一象限．]

2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)

A．(1，)  B．(1，)

C．(1，3)    D．(1，5)

B　[|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，

∴|z|∈(1，).]

3．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

B　[∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，故复数z＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．]

4．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为(　　)

A．－     B．－

C．     D．－

B　[因为z1＝1－2i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以z2＝－1－2i，所以＝＝＝－－i，其虚部为－，选B.]

5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)

A．－1＋i     B．1＋i

C．－1＋i或1＋i   D．－2＋i

A　[因为z在复平面内对应的点位于第二象限，

所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1，

故a＝－1，所以z＝－1＋i.]

二、填空题

6．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)满足的关系式为________．

(x－2)2＋y2＝8　[由模的计算公式得＝2，∴(x－2)2＋y2＝8.]

7．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是________．

　[∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，

∴tan α＝＝－(0≤α＜π)，

∴α＝.]

8．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是__________．

－6－8i　[因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4，3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量AB表示的复数是－6－8i.]

三、解答题

9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.

[解]　∵z为纯虚数，

∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，

又|－1＋i|＝，由|z－1|＝|－1＋i|，得 ＝，解得a＝±1，

∴z＝±i.

10．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应的点满足下列条件？

(1)在第三象限；

(2)在虚轴上；

(3)在直线x－y＋3＝0上．

[解]　复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6).

(1)由点Z在第三象限，得解得

所以0<m<3.

(2)由点Z在虚轴上，则

解得m＝0或m＝4.所以m＝0或m＝4.

(3)点Z在直线x－y＋3＝0上，则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0，

即－3m＋9＝0，

所以m＝3.

11．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

A　[∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，

∴解得

∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．]

12．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1，2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于(　　)

A．4＋5i     B．5＋4i

C．3＋4i     D．5＋4i或＋i

D　[设z2＝x＋yi(x，y∈R)，

由条件得，

∴或]

13．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________．

12　[由条件知

∴m＝3，∴z＝12i，

∴|z|＝12.]

14．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．

　[复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，

因为该点位于第二象限，

所以解得－1<a<2.

由条件得|z|＝＝＝ ＝ .

因为－1<a<2，

所以|z|∈.]

15．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z.

[解]　根据题意可画图形如图所示，

设点Z的坐标为(a，b)，

∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，

∴a＝－1，b＝±，

即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)，

∴z＝－1＋i或z＝－1－i.