高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2 直观图习题

课后素养落实(四十)　直观图

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm

B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm

D．与z′轴成45°且大小为5 cm

A　[平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．]

2．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(　　)

A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

B　[由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.]

3.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个(　　)

A．等边三角形

B．直角三角形

C．三边中只有两边相等的等腰三角形

D．三边互不相等的三角形

A　[由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC.∵A′O′＝，∴AO＝.

∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，

∴△ABC为等边三角形．故选A.]

4.如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

C　[因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.]

5.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为(　　)

A．　　　 B．

C．1     D．

B　[因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B′C′的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′与O′x′轴的距离是.]

二、填空题

6．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．

(4，2)　[由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2).]

7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．

36　[在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′(图略)，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.]

8.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

　[由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为.]

三、解答题

9.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．

[解]　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.

10.已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．

[解]　画法：

(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.

(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.

(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3)).

(1)　　　　(2)　　　　(3)

11.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)

A．     B．

C．5     D．

A　[由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A.]

12.梯形A1B1C1D1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是(　　)

A．5　　　B．10　　　C．5 　　　D．10

A　[由A1B1∥x′轴，A1D1∥y′轴，根据斜二测画法规则可知，该图形还原成平面图形时，A1B1，C1D1长度不变，A1D1长度变为原来的2倍，且∠A1D1C1变为∠ADC＝90°.该直观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直角梯形，其中AB＝2，CD＝AB＝3，AD＝2，∴S梯形ABCD＝＝5.]

13.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.

矩形　8　[由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2).]

14.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图(斜二测画法)，其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________．

5　[由斜二测画法可知△ABC是直角三角形，且AC＝2A′C′＝4，BC＝B′C′＝3，则最长边(斜边)AB＝5，故答案为5.]

15.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．

[解]　画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，

则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm，

故△A′B′C′的高为B′D′＝3 cm，

所以S△A′B′C′＝×12×3＝18(cm2).

即水平放置的直观图的面积为18 cm2.